課程名稱︰管理數學
課程性質︰
課程教師︰黃以達
開課學院：
開課系所︰財金系
考試日期（年月日）︰
考試時限（分鐘）：
試題 :
A部分 線性代數
(A1)(8%)
希媽解一個三階的線性方程組Ax=b，經由高斯-喬丹消去法他先做增廣矩陣，求出其列已
簡化梯形矩陣，得到新的方程組的寫法是Rx=d，最後求出所有解的表達如下：
[4] [2] [5]
x= [0]+ C1[1]+ C2[0] C1,C2∈R
[0] [0] [1]
(1)(2%) 請問rank(A)=? (根據題意A是三階方陣)
(2)(2%) 請推理出R的內容。
(3)(1%) 請推理出d的內容。
(4)(3%) 已知希媽所做的列運算順序是先將增廣矩陣的第一列乘以(-3)加到第二列，再將
第一
列乘以5加到第三列才得到R,d。請推理出A與b的內容。
(A2)(8%)
[ 4 6 10]
A=[ 6 10 18]
[10 18 35]
(1)(4%) 求A^(-1)。
(2)(4%) 請將A矩陣進行喬列斯基分解。
(A3)(5%)
[0 1 2 2]
A=[0 3 8 7]
[0 0 4 2]
(1)(3%) 請求N(A)上的一組基底。
(2)(2%) 請問A是否存在右反矩陣B，可使得AB=I ? (僅回答是或否即可)
3x3
(A4)(3%)(克漏字填空)(全對才計分)
Suppose a 3 by 5 matrix A hasU rank r=3. Then the equation Ax=b _____(1)______
has ________(2)___________.
(1) (A) always (B) sometimes but not always
(2) (A) a unique solution (B) many solutions (C) no solution
(A5)(5%)(是非題)(不必附上理由)
(1) 對稱的矩陣一定可以做喬列R斯基分解。
(2) 假設V與W是正交的，V⊥與W⊥也必定是正交的。
(3) 假設一個群裡面只有三個元素，則我們可以推論這個群一定也是個交換群。
(4) 已知a,b是兩個實數，且13a+27b是有理數，23a-16b也是有理數，所以我們可以推論
出a,b必定都是有理數。
(5) 所以反矩陣存在的三階方陣，他們之間必定都是列等價的。
(A6)(4%)(多重選擇題)(錯一個得兩分，錯兩個以上不計分)
已知一個線性方程組Ax=b，其中A為一個mxn大小的矩陣，其秩為r，請選出正確的選項。
(A) 若解的行為是恰有一解，則我們可以確定m≧n。
(B) 有A的行向量線性獨立，則我們確定解的行為是恰有一解。
(C) 若A的列向量線性獨立，Ax=0就可以確定是唯一解。
[1] [2] [1]
(D) 設n=3，已知Ax=[2]無解，Ax=[3]唯一解，那麼Ax=[1]絕對無解。
[3] [4] [1]
(A7)(4%)
[ 0 8 0 1 0]
[ 3 2 1 1 1]
A=[-2 4 2 3 2]
[ 0 2 5 7 0]
[ 0 8 0 6 0]
請計算det(A)。
(A8)(13%)(證明題)
(1)(4%) A為一個mxn大小的矩陣，則dim(RS(A))=dim(CS(A))
(2)(3%) 設A,B為n階方陣，det(AB)=det(A)det(B)
(3)(3%) rank(AB)≦min(rank(A),rank(B))
(4)(3%) det(A)=det(A^T)
B部分 機率淺論
(B1)(5%)
定義一隨機變數X，其代表施行n次實驗內總共成功的次數。利用此隨機變數來描述這樣的
隨機現象之機率分配稱之為二項分配，其機率質量函數可描述如下：
C(n,x) p^x (1-p)^(n-x)，x=0,1,2,...,n
　　　　　　　　　Ｐ(X=x)=f(x)=
0, otherwise
其中已知n,p為兩常數，其中n為給定的自然數以及0<p<1。我們常簡記為X~B(n,p)。已知
二項分配的三階原點動差可表示成：
E(X^3)=P (n)p^3+(3n^2-3n)p^2+np
3
其中P (n)中為一個n的三次多項式，請求P (n)=? (不計方法，亦可不須過程0)
3 3
(B2)(10%)
若有一隨機變數X，我們稱其服從珈瑪分配，意即其機率密度函數可描述如下：
λ^α
f(x)= ﹉﹉﹉ x^(α-1)e^(-λx),x>0
Γ(α)
0，x≦0
其中已知α，λ為兩常數，且α>0以及λ>0。我們常簡記為X~Gamma(α,λ)，
請回答下列問題。
(1)(1%) 假設Y是一個隨機變數且服從自由度為1的卡方分配，其等價於
Y~Gamma(_____,_____)
(2)(2%) 假設Y1，Y2，Y3是三個彼此獨立的隨機變數且階服從自由度為1的卡方分配，
今定義Z=Y1+Y2+Y3,請問Z~Gamma(_____,_____)
(3)(3%) 承上題，請根據期望值定義計算E(√Z)=?
(4)(3%) 假設有一顆科學家觀察一個粒子在空間中移動的狀況，他發現在經過一分鐘之
後，此粒子在空間中三個方向的位移正好各自服從常態分配，且三個方向皆統計獨立，故
科學家定義此粒子在一分鐘之後的空間座標為(X,Y,Z)，此為一個隨機向量，其中每個分
量的機率分配為X~N(0,2),Y~N(0,2),Z~N(0,2)，我們可以定義移動位移長為
_________________
D=√X^2 + Y^2 + Z^2
請求此粒子在一分鐘之後的期望移動位移長，即E(D)=? (HINT:利用(3))
(B3)(1+1+2%)
關於連續型分配，請回答以下問題：(可以不必任何計算過程)
(1) 唯一具有無憶性的是_____分配
(2) X~Lognormal(1,1)，請求E(X^2)=?
(3) f(x)=cx^2 (1-x)^2,0<x<1,在c=____時，f(x)為一良好定義的機率密度函數
(B4)(2+2%)
關於離散型分配，請回答以下問題：(可以不必任何計算過程)
(1) X~HG(N,k,n)，此為從有限母體中以抽出不放回的方式抽取n個物體，記錄來自關心群
的個數，其中N為母體內元素的個數，k為關心群個數，則在此超幾何分配中，請問有限母
體校正因子的大小是___________
(2) 設X~Poi(λ)，請求Kurtosis(X)=___________
(B5)(3%)
呂育道教授曾在財務演算法的課程中介紹一種快速模擬出來自標準常態分配的隨機樣本
的方法，方式如下:
「先用電腦模擬12個來自均勻分配(0,1)的隨機值，緊接著將他們的和再扣掉6，則你就會
得到一個很像是標準常態分配中所隨機抽取的一個數值。」
(1)(1%) 請解釋這種方法有何先天上的限制，也就是與常態分配不符合的地方？
(2)(2%) 請說明這種方法的理論想法是什麼?為什麼得出來的資料會接近標準常態分配的
行為？(提示：與動差有關)
(B6)(5%)
若有一隨機變數X，其機率密度函數可描述如下：
24x^2 e^(-8x^3), x>0
f(x)=
0, x≦0
設Y=X^3，則Y服從哪一個我們熟知的分配?(需寫出分配名稱及參數)
(B7)(5%)
若有一隨機變數X，其機率密度函數可描述如右:
2(x-a)/[(b-a)(c-a)] , a≦x≦c
f(x)= 2(b-x)/[(b-a)(b-c)] , c< x≦b
0 , o.w.
其中a≦c≦b, a,b,c∈R，請計算E(X)。
(B8)(2+3%)
有一個看似「公平」的賭博遊戲進行如下：參賽者先付報名費200元，然後擲一枚硬幣
四次，獎金為擲出正面次數之100倍。若莊家使用的硬幣為「不公正硬幣」，擲出正面
之機率為0.25，且四次結果不會互相影響，則此賭徒參加賭局的期望報酬與期望報酬
之標準差分別是多少元？
(B9)(5%)
假設A汽車公司引進一個起重機系統，今定義一隨機變數T表示此系統可維持運轉之壽命，
且已知其CDF函數如下
1-(3/t)^2 ,t>3
F(t)=
0 ,o.w.
假設此系統在停止運轉時所需的維修費用為Y=T^2，請求出Y的機率密度函數。
(B10)(5%)
假設B紡織公司考慮購買一機器設備，採購價格為10億。你是此公司之高階主管，想要說
服
董事會購買此一設備，於是提出了殘餘價值的概念。你定義一隨機變數X表示此設備可維
持
運轉之壽命，並透過業界報告分析得知其設備壽命服從一指數分配，其動差母函數如下：
1/(1-6t) , t<1/6
M_x(t)=
0 , o.w.
以及評估其設備在第X年的殘值之折現價值為Y，數學關係式為
Y=10*0.4^(X)
最後你提出新成本之看法應該為C=10-Y，請求出新成本之期望值E(C)。
C部分 豆知識
1.(2%) 請寫出著名的尤拉公式，並利用尤拉公式的強大，將i當成常數一般，對公式的兩
邊 微分，再三行以內同時證明出：
dsinθ/dθ=cosθ；dcosθ/dθ=-sinθ
2.(2%) 假設你被外星人綁架，從你醒來的第一天算到今天已經連續活下來了二十五天，
你
想知道你明天還能繼續活著的機率是多少，於是你想起拉普拉斯曾經說過的一個公式，他
說可以應用於所有我們不認識的事物上，於是根據拉普拉斯的說法，你算出明天還能繼續
活著的機率是多少？
3.(2%) 關於亞里斯多德與其哲學的敘述，下列正確的有：
(A) 譽為「第一位精通所有知識的人」
(B) 譽為「最後一位精通所有知識的人」
(C) 西塞羅描述他的文學風格為「金河」
(D) 西塞羅描述他的文學風格為「銀河」
(E) 亞里斯多德的追隨者被稱為步行者
(F) 亞里斯多的的追隨者被稱為路行者
(G)「理念的科學」
(H)「研究真實宇宙原因的科學」
4.(2%) 拉普拉斯侯爵、李亞普諾夫、棣美弗、波萊爾、費雪。關於這五位數學大師，請
按照與他們有關的選項依序排出。(例如：CBADE)
(A) 英俊小夥子 (B) 嗜睡症 (C) 斯特靈公式(Stirling's Formula)的真正發明者 (D)
證明有限覆蓋定理 (E) 撰寫宇宙系統論
5.(2%)關於亞里斯多德的名言，錯誤的有：
(A) 真正的朋友，是兩個靈魂在一個軀殼裡。
(B) 所謂平等，就是富人不占窮人的便宜。
(C) 欲望是人類的本性。
(D) 只有上帝可以改變過去。
6.(1%)歐拉一邊喝著茶，一邊和小孫女玩耍，突然之間，煙斗從他手中掉了下來。他說了
一聲：
「我的菸斗」，並彎腰去撿，結果再也沒有站起來，他抱著頭說了一句：「我死了」。
後面這句經常被數學史家引用的話，出自法國哲學家兼數學家孔多塞之口：「he ceased
to __________ and to live。」
7.(1%)「是誰讓_______如棣美弗那般精確，不靠量尺準繩就設計出圖樣？」這段話是英
國詩人波普(Alexander Pope)在他的著作《人的讚禮》中，對棣美弗的數學能力表示敬意
。
8.(1%)棣美弗曾道：「我靠做家庭教師糊口，必須給許多家庭的孩子上課，因此時間很緊
，於是就將這部巨著拆開，當我教完一家的孩子後去另一家的路上，趕緊閱讀幾頁，不久
便把這部書學完了。」請問他講的這本巨著的名稱是？
9.(1%) 一般認為演化的驅力主要來自有突變的因素以及選擇的因素，根據費雪的研究，
他認為何者所佔的重要性較高？
10.(1%)請問從經濟學的角度來看，瑪麗蓮夢露與黑鮪魚的存在何種的等價關係？
11.(1%)「若則然，反之則未必不然。」指的是邏輯學上的何種現象？
12.(1%)請敘述幾何學中的平行公理。
13.(1%)人的一生都在經歷不斷的______與________的過程中，因此誕生了「數」。
14.(1%)是哪位數學家證明了五次方程式沒有根式解？
15.(1%) 請問是哪一部電影片名直接點出人類其實是電腦魔王所建造子宮裡被奴隸操控
的生物。(寫中文或英文片名皆可。)