Re: [ ⑨ ] 彈幕決鬥益智問題

作者: kirimaru73 (霧丸)   2014-09-05 00:32:10
這篇是非常識版的解答,感謝抱怨「為什麼這種鳥事跟我有關」的早苗所協助。
根據前文所述,先手攻擊靈夢是最佳策略。
在機率的部分,如果完全精確計算,各策略的最終獲勝率如下:
攻擊靈夢 60.13%
攻擊魔理沙 57.25%
放棄行動 16.94%
詳細的推論可以直接參考前文,我只修正了估計值的部分。
正常版的問題中,關鍵就在於開局狀況下,
魔理沙不管對公平性有沒有意見,他唯一且最佳的選擇就是攻擊你。
那麼,如果今天把你擁有兩條命這一點去掉呢?
這會退化成一個單純的三槍手決鬥問題,唯一個差別只在於攻擊順序的小變化。
在靈夢&魔理沙的行動回合,雙方都會攻擊對自己威脅最大的目標。
由於兩人是同時攻擊,放棄攻擊只會讓對方平白多一次開火機會。
而且靈夢被規則所限制攻擊對象,魔理沙更要盡早解決這個強制性的威脅。
兩發彈幕過後,可能的情況如下:
72% 同歸於盡,你直接獲勝
18% 你先手和靈夢PK
8% 你先手和魔理沙PK
2% 三人存活,接著輪到你
在那2%的機會中,你最好的策略當然是放棄攻擊,這是三槍手決鬥問題中的經典模型。
如果你「不幸」打敗了其中一個,被另外一方先手對付時,你的生存率會低到非常可怕。
所以,那2%的情況會將場面完全重現一次。
這種無限輪迴的狀況可以先排除,將原本的機率分布簡化為下:
72/98 你獲勝
18/98 你先手和靈夢PK
8/98 你先手和魔理沙PK
根據前文提過的計算,並將數值精確化後:
你先手和靈夢PK 靈夢的勝率為27.84% 你為72.16%
你先手和魔理沙PK 魔理沙的勝率為25.53% 你為74.47%
因此,當三人都只有一次機會,且靈夢和魔理沙同時並優先出手的情況下:
你的勝率為 92.80%
魔理沙的勝率為 2.08%
靈夢的勝率為 5.12%
對你壓倒性的有利,這就是策略問題中一個有趣的地方:
所有人即使處於再不利的情況下,都會無感情且理性地將自己的勝率最大化。
一旦進到這個局面,你的勝率立刻超過九成。
可是從開局狀況中,這個場面是不可能發生的:
1. 靈夢不能跳過魔理沙攻擊你。
2. 靈夢還在時,魔理沙命中你會直接讓你退場。
這已經不是機率問題,根本就是不可能,因此你也無法期待其他兩人的配合。
江湖一點訣,說破不值錢。
把不可能化為可能的唯一機會,就是你在行動中攻擊自己。
但是,這種荒謬的舉動真的合乎規則嗎?
重新來看一次,規則是這樣寫的:
- 行動者可以選擇任何一名參加者攻擊,也可以選擇放棄攻擊。
- 你必須被擊中兩次才會退出比賽。 (後面的魔理沙條款現在不重要)
「任何一名參加者」當然包括你自己,不管用多嚴格的語言判定都肯定能過關。
如果寫規則的人心裡想著不能打自己,卻寫出這種文字,那是他自己的錯。
接著,你擊中自己後會自動退場嗎?
當然也是不會,「被擊中」並沒有說自己打的會有不同結果。
最後一個問題,你攻擊自己的命中率是多少?
這是最麻煩的一個關鍵點。就常理來說,打自己應該100%會命中。
但是依照規則文字判斷,只能肯定有70%的命中率。
到這裡可以引進一些跟數學比較無關的聯想:
為什麼打自己的命中率會只有70%?
依照比賽規則,參賽者不能閃躲,但是大家的命中率都不是100%。
因此這些彈幕肯定不會是攻擊者可以確定路徑的固定彈,很有可能是完全的亂數彈。
另外,彈幕不一定會由你所在的位置發出,從周圍慢慢包圍也是很有可能的。
因此,在這些題目中沒有提到的可能性下,
你是無法肯定推論「我攻擊自己只要想中就一定會中」這件事情的。
但是,同樣由於題目與規則上的文字定義,你絕對可以主張70%的命中率。
於是,接下來就只要考慮一件事情了。
打自己的勝率是否能高過前述的最佳策略(攻擊靈夢,60.13%)?
這裡倒是不用真的計算出來,就可以知道結果。
你不管攻擊誰,只要成功了(70%)就會造成一種特定的局面。
而如果失敗了,則會造成先後手互換的局面,輪到靈夢和魔理沙攻擊。
互換後你的勝率是很低的,至少在20%以下,因為你是魔理沙的優先目標。
但是這種結果是共通的,你無論做什麼事情,失敗時都會導向相同局面。
因此你要考慮的就是:如果我成功了,接下來的局面中哪個最有利:
你攻擊靈夢且成功之後,面對魔理沙的勝率為78.27%
你攻擊魔理沙且成功之後,面對靈夢的勝率為74.17%
你攻擊自己且成功之後,剩餘場面中的勝率為92.80%
到這裡,已經完全可以肯定,攻擊自己是最佳策略了。
即使被70%的命中率所限制,最後的結果也仍然是最好的。
實際計算到底的結果如下:
攻擊自己 70.37%
攻擊靈夢 60.13%
攻擊魔理沙 57.25%
放棄行動 16.94%
不會很痛的,勇敢行動吧。
作者: zseineo (Zany)   2014-09-05 00:35:00
推,打自己真的很有趣www
作者: lR6   2014-09-05 00:48:00
超酷最佳解~
作者: jetzake (加菲貓)   2014-09-05 01:01:00
姆... 如果攻擊自己之後被另外兩個合力集火呢?沒有設定三人都出局的判定結果 這是比較奇怪的
作者: zseineo (Zany)   2014-09-05 01:30:00
請看規則,不能被集火(1) 只要魔理沙還沒有退出比賽,靈夢就不能攻擊你。

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