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請向 s7024546 大大站內信諮詢，等比級數和的正確算法，
s7024546: 啊就等比級數和的公式啊... 11/25 16:24
是他引導您使用等比級數的算法來計算連續複利的。
我想由他來向您解釋會比較妥當。
※ 引述《paranoia5201 (社會黑暗、行路難)》之銘言：
: 標題: Re: [問題] 怪老子書本第一章的例子（算不出來）
: 時間: Sun Nov 26 17:16:48 2017
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: 月薪 工作年限 方案 利率 退休時本利和
: 小林 $30,000 40年（25-65歲） 活存 0% $14,400,000
: 小陳 $30,000 40年（25-65歲） 定存 1% $17,696,744
: 小李 $30,000 40年（25-65歲） 投資 8% $104,730,235
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: 非常感謝各位前輩的熱心解答。
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: 透過ameryu的表，讓我更清楚理解整個運算的過程。
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連續複利，用等比級數來算會出錯。
他用的是典型七二法則的計算原理(這原本是會計的東西，卻被愛因斯坦發揚光大)
目前廣為人知的是『非典型七二法則』。
用 72 ÷年報酬 ＝ 本金翻一倍所需的時間。
用 72 ÷時間(年) = 所需要的年化報酬率(概略)
用年報酬率去計算的，這個是速算法。並非精準計算。
為什麼會是用8%，因為他的誤差值是最小的。
72 ÷8% = 9年(這個是心算)
驗算過程， ( 1 + 0.08 ) ^ 9 = 1.08 連乘九次。
答案：1.999004627 = 1.08 ^ 9
72 ÷9年 = 每年所需的年化報酬率，以此為例，
就是每年需要8%的獲利，才能使本金翻一倍。
計算的公式
( 1 + X ) ^ 9 = ( 1 + 100% )
＝> ( 1 + X ) ^ 9 ^ ( 1 ÷9 ) = ( 1 + 100% ) ^ ( 1 ÷ 9 )
＝> ( 1 + X ) = 2 ^ ( 1 ÷9 )
＝> ( 1 + X ) = 1.080059739
如果你對連續複利有疑問，只要解開七二法則第一年，
為什麼是獲利72%，就可以讓本金翻一倍？
找到答案，就能解決您的疑惑。
PS. 答案在圖表裡面就有，圖表被我移到第一篇回文裡面了。
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: 不過在此又衍伸出新的問題。以下是以月計算的等比級數總和：
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: 小陳： 30000*(1-(1+.01/12)^480)/(1-(1+.01/12)) = 17,696,744
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: 小李： 30000*(1-(1+.08/12)^480)/(1-(1+.08/12)) = 104,730,235
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: 而上述數字與ameryu拉表格的差異，在於$30,000，也就是第零期沒有利率的投入金額。
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: 可是既然等比級數和有把第零期的本金算入，是否就代表這是必然的規矩：
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: 投入的金額必須要從第零期開始算，而利率從第一期開始算、卻不加入第零期本金（？）
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: 以下貼上列連表試算內容：
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: 年報酬率1% 年報酬率8%
: 月 當期投入 過去餘額 月報酬 期末本利和 過去餘額 月報酬 期末本利和
: 0 $30,000 $0 0.0008 $30,000 $0 0.0067 $30,000
: 1 $30,000 $0 0.0008 $30,025 $0 0.0067 $30,200
: 2 $30,000 $30,025 0.0008 $60,075 $30,200 0.0067 $60,601
: 3 $30,000 $60,075 0.0008 $90,150 $60,601 0.0067 $91,205
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: 476 $30,000 $17,488,127 0.0008 $17,532,725 $101,835,336 0.0067 $102,544,438
: 477 $30,000 $17,532,725 0.0008 $17,577,361 $102,544,438 0.0067 $103,258,267
: 478 $30,000 $17,577,361 0.0008 $17,622,034 $103,258,267 0.0067 $103,976,856
: 479 $30,000 $17,622,034 0.0008 $17,666,744 $103,976,856 0.0067 $104,700,235
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: ↓ ↓
: 較$17,696,744少了$30,000 較$104,730,235少了$30,000
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: 我的思考理路是從等比級數和的答案來回推試算表的內容是哪裡出錯，
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: 所以再重述我的解答：必須要設定有一個無利率的第零期本金投入，在總和時加回才對。
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: 以下再帶出兩個疑問：
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: （1）以上是一般投資報酬率的計算模式嗎？我怎麼覺得怪怪的，尤其是那個零期本金...
只能建議你不要硬鑽牛角尖，依舊不能理解，為什麼是用等比級數和在算複利？
最主要是Ｓn的首項，你假設錯誤，後面全錯。
利息計算的基本，是錢放進銀行就要開始算利息，若是以一個月定存計算。
一個月的其中一天把錢存進去，滿一個月之後，才會產生利息。
定存的另一種意義是，你把錢借個銀行一個月，
一個月之後，銀行必須連本帶利，歸還您的本金，並奉上一個月的利息。
現在的差別就是存錢日的不同。
數學課本上應該會有一題，種電線桿。
你要產生四個間格，需要幾根電線桿？
│(第一根)......│(第二根)......│(第三根)......│(第四根)......│(第五根)
┴───────┴───────┴───────┴───────┴
但是間隔只有四個
等比級數的錢，的入帳時間是二～五。問題就在於 a1是要怎麼設？
金錢的複利，是一～四，
如果沒有本金存進銀行，銀行還給你利息，那叫無本生意，天底下會有這種好康？
: （2）怪老子的書中的確是說「月利率」，也就是每月計算利息並加入本金。
是每個月複利滾存一次。
: 就我初淺的知識，銀行的定存是公告年利率，但若中途解約仍可依月比例計算利率，
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: 所以其實在上述的例子，月結算與年結算利率，答案應該要不大？
答案會在典型七二法則中的一年期的100%獲利，是怎麼變出來的。
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: （只是看到有在討論是月初／月底／一年結算利率、我不解這問題點的重要性？）
複利次數的多寡，對最終的答案會產生極大的影響。
複利480次，跟複利40次，那一個滾出來的錢會比較多？
你今天是用 1.xxx在計算，是沒啥感覺，
你只要用 2 去計算，用 2連乘 480次， 2 ^ 480，就會是一個天文數字。
2的40次方，大約1兆多，大約是 Ｋ的４次方。生活中的Ｋ是１０００，
電腦世界裡面的Ｋ是１０２４，
Ｋ ＝ 2 ^ 10
Ｍ ＝ 2 ^ 20 = 1024 K
Ｇ ＝ 2 ^ 30 = 1024 M，一片DVD的容量約 4.3 GB。玩過燒錄就會懂。
Ｔ ＝ 2 ^ 40
假設 K = 1000，K的4次方 = 1,000,000,000,000 ，剛好會有四個千分號。
如果你今天要解決的問題是棉花糖的問題，那用等比級數來列式，不會有問題。
2的零次方等於 1，2的30次方等於？(以一個月31天來計，INDEX = 0 開始計算 )
2的29次方等於多少？
30天的等比級數和，與31天的等比級數和，差距是多少？
自己算一下，就會知道，少複利一期的答案，其差距會有多少。
你今天要算的東西是複利或是利息類的，那利息計算的時間點，就有很大的問題。
今天你若是向銀行借錢，只要錢離開銀行，就是起息日，
過了午夜12點，當天就會計息。
若還弄不懂那個金融邏輯，我就真的沒步了。
先拿錢出來，才可以錢滾錢。
去看第一根電線桿，中間的間隔就是『時間』，
串起來的時間，就叫時間流。
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: 以上，初次來理財版就感受到前輩們的熱心～
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: 實在是很溫暖，要多來取經了！
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