之前與版友討論是F
反例如下：
A = [0 1 v = [1
1 0] 0]
但想問這題該如何以觀念解題
畢竟反例不一定能想到

翻譯成中文是說若存在vTAv=0 則這個v屬於ker(A) 看起來是不對的 但不知道有沒有相關的觀念

A symmetric，可正交對角化，用特徵向量假設v的形式可知vTAv=α^2(λ_1)|v_1|^2+β^2(λ_2)|v_2|^2寫成這樣找反例就很簡單了不過要注意的是可正交對角化並不保證是對稱，所以要先找到特徵值並非全正或全負的對稱矩陣（非正定或負定）就自由設啊，特徵值是跟你選的對稱矩陣有關像這個例子，特徵值是1,-1，那要怎麼變0？也就是說，從這個式子你可以看到只要不是正定或負定，那麼不管哪個可逆對稱矩陣都能辦得到這件事更一般地說，只要特徵值有正有負就行了，還不用可逆

= = v^tAv=(v,Av)，只要v跟Av垂直就可以是0了不用Av=0，不用謝

大概的意思就是 只要特徵值有正有負 就可以舉出對應的特徵向量的線性組合 使得題目的敘述不為真

不要被帶走了，你本來就是在問要怎麼找到能否定敘述的v要否定敘述，不只是要找到v,A使得v跟Av垂直，還要確定Av不為0 假設今天A是I，那你連vTAv=0的v都找不到，而如果A={{1,0},{0,0}}，那不管你再怎麼找出v，它都會有Av=0

如果要以垂直來看 找出v讓v跟Av垂直 由於Av屬於行空間 所以v要在A的左零空間 但以你的例題來看 要去哪裡找在左零空間但不為零的元素？

借問個 是不是只要A是symmetric，則ker(A)就會等於Lker(A)，所以用垂直會找不到？

並不是因為用垂直找不到，而是你本來就知道那是垂直單純知道這件事不會讓你真的能找到v反過來說，題目這樣出，反而讓你多個線索去找反例D大說v要在A的左零這句不對，左零是對所有行空間向量都垂直的向量，但是跟特定的行空間向量垂直的不需要在左零

我本來是想說 如果要以v跟Av垂直這件事下去想的話的方向與特定行空間垂直感覺也比較好解釋? 假設v=[1 0]^T (隨意)A的第一個行向量設成與[1 0]垂直 v就會與A的"特定行空間Av"垂直 剩下的任意補使得A為symmetric 就能得出反例

這樣也很不錯，固定v反過來構造A的方式