: 微積分
: [88年度]
: 1.c(x),s(x)為x的函數，s'(x)=c(x),c'(x)=-s(x)，s(0)=0,c(0)=1
: 試證s(x)=sin(x),c(x)=cos(x)
s'(x) = c(x), s''(x) = c'(x) = -s(x)
s''(x) + s(x) = 0
令 s(x) = e^(ax)
(a^2)e^(ax) + e^(ax) = 0, e^(ax) > 0, a^2 + 1 = 0, a = +-i
s(x) = be^(ix) + ce^(-ix) = bcos(x) + ibsin(x) + ccos(x) - icsin(x)
s(0) = b + c = 0, b = -c
s'(x) = c(x) = ibe^(ix) - ice^(-ix), c(0) = ib - ic = 1
ib + ib = 2ib = 1, b = -i/2, c = i/2
s(x) = bcos(x) + ibsin(x) - bcos(x) + ibsin(x) = 2ibsin(x) = sin(x)
c(x) = s'(x) = cos(x)
話說我聽說這種解法一開始是用偏微分方程導出來的 可惜我不會導...
: 2.求e^(-x^2)對x的積分
這是很經典的題目 要記得用夾擠去做就是了 直接換成極座標 然後取r的範圍為0到無限大是不嚴謹的
補充: 這題也可以用gamma function去做
因為 原式 = (1/2)*gamma(1/2) = [(pi)^(1/2)]/2