※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言：
: ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: : 推 CATALYST0001: substitution高中有教吧？還是那是我以前補習班才 03/06 23:39
: : 沒有。我只在很舊的高職工程數學上看過。
: : → CATALYST0001: 有學到？反而是ln 跟e不曉得為什麼不教 03/06 23:39
: : 我也覺得該教，但實際上一教下去就會牽出一大串東西。
: : 最舒適的流程應該是用積分定義 ln，證明他滿足對數律就可以說明他是一種 log。
: : 然後帶出他的底數 e，定下自然對數底這個稱呼。
: : 畢竟常用的兩個極限定義都……很奇怪啊。
: : (1+1/n)^n 還可以用複利，Σ1/n! 要從無窮級數的積下手來談吔。
: 只是要教 (1) e 常數的定義 和 (2) 對應的指數函數不難啦
: 問題在教了要幹嘛？
: 教會學生怎麼對 1/x 積分？
: x
: ln x = ∫du/u 這個定義是證明起來方便，但動機看起來超奇怪
: 1
: 你沒事定義一個這樣的函數幹嘛？打手槍？
: 比較易懂的做法是
: 1. 定義常數 e
: 2. 定義 lnx 為指數函數的 e^x (簡單的說就只是某個特別的對數函數)
: 3. 透過反函數的微分性質去得出對 lnx 微分會得到 1/x
: 但第三步會得要先得到 「對e^x微分會等於e^x」
: 這實際上也才是為什麼 e 重要
: 但是啊，你怎麼突然會關心起「微分變成自己的東西」？
: 這答案很標準，就是微分方程，比如 y'(x) = ay(x)
: 微方可以說是人類科學發展過程中數一數二重要的里程碑
: 不過我們高中教育從來沒有想要把微方的概念代入教材裡面
: 而如果跳過這些，純粹就告訴學生「幹 別管有啥用，給我全部接受、算就對了」
: 這很容易造就一堆覺得莫名其妙、然後什麼都沒學會的學生
先教積分在教微分的方法多見於一些數學系才會用的教材，其便利之處在於處理積分比
處理微分更容易。所有數學系畢業的人都知道Lebesgue定理，但是知道絕對連續隱含微分
幾乎處處存在且微積分基本定理成立的人是為數不多的存在。在指對數函數這邊會寫出
的事情是，用1/x的定積分定義log(x)讓你直接得到log和其反函數都無窮可微，但是先寫
出指數函數時你必須要了解他是一個連續甚至可微的函數，那就得動手算一些極限，衍生
出是要算下去讓課堂變無聊還是要跳過去讓學生變得迷惑的兩難。
另一方面，你寫出的微分方程固然可以用瞪出一個解和存在唯一定理解，但是其正規解法
難道不是分離變數後變成a/y對y積分並取反函數嗎？這也給出一個為什麼要會算這個積分
的敘事。在純數學裡，1/x的積分是重要的積分，log函數也是偉大的函數。用途和趣味性
不見得會輸給指數函數，只是生不出剛學微積分的人能理解的動機而已。

這個很有說服力 不過你瞪出解的程度不是一般人能做到的阿

我大學修過後就不想碰了 請不要喚醒我記憶(頭痛

看到幾乎實在心癢癢很想知道例外的函數的密度（嘖嘖）…（先教積分也是為延後無窮大小這個教師債務吧？XD）

正規的教法是 極限-連續-微分-微積分基本定理-積分，然後是partal 微分，多重積分，這樣差不多就理工類兩學期了，剩下的丟給工數。其實微積分這種拋棄舊的數學思想蠻好玩的

忘了以前哪篇心得文看過美國好像有大學是要求教師避開以(ε, δ)定義函數的極限，如果遇到上位者如此要求的話，該怎麼辦呢？還是先岔題幾個小時教非標準分析（哭哭）？

推 有人不知道這位是 數學卷哥

感謝作者喚起了以前某些高中老師會舉的直觀例子，但看了https://gyo.tc/1XCyI https://gyo.tc/1XCyG 恐怕對高中沒碰過作者所舉的例子的大一學生相當緊湊呢……（可能某些人第一次淺嚐微分是在高中物理的運動學吧）

我不是說先教積分……是教了積分以後才開始介紹e啦>"<內容扎實的微積分課綱很緊湊，所以微積分其實是無論如何都

回樓上：（@@双眼亮度皆為一千流明）

得在高中先教。覺得應該放e是因為一級反應、衰變和常態分

推數學，看到第一行就昏了

佈。總之幫學生補一下洞吧。不然對e的理解停在「一個約2.71828的數字」實在很沒fu。然後簽名檔會不會太狠？Galois 21歲就掛掉了吧？

（樓上突破盲腸XD）

還有阿瑞尼士方程，甚至波茲曼分佈。高中ln的應用應該是能斯特方程式吧。

以前學習自然對數的底數遇到很多老師都是先從無限期數的複利收斂值切入，如果換成自己教別人，不容易想像如何先

連續複利跟(1+x/n)^n很搭啊。

教積分再教自然對數的底數……（在下以上的「教」，主要針對許多沒預設動機的同學）

在講x^n的積分的時候，強調一下n不能是-1。就能勾起想唱反調的人的表面動機了。

我應用數學系畢業.. 我好爛