原文恕刪
Boussinesq近似是一個準平衡近似。假設大氣有一個不變的靜力平衡態，而我們所關心的
是大氣狀態稍微偏離靜力平衡態的變化。Boussinesq近似的目的是在此假設下將大氣變化
線性化以求解析解。
以下轉自telnet://bbs.as.ntu.edu.tw Allstudy版，
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[作者] s93015a (水瓶珩) [看板] Allstudy
[標題] [共筆] 流體力學筆記 微擾分析之靜力平衡
[時間] Sun Feb 16 01:36:05 2014
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∂ρ/∂t=-U‧▽ρ-ρ(▽‧U)
∂U/∂t=-U‧▽U-gk-(▽p)/ρ
p^(1/γ)=ρRθpr^(-κ)
cpdlnθ/dt=0
以上是慣性座標中無外力、無耗散的大氣原始方程
求非線性偏微分方程式的解有兩種方法：數值分析和微擾分析，而後者較簡單，是接著的
重點。所謂微擾分析，就是先求平衡態解，再求微微偏離平衡態的解。在數學上，就是將
變數對時間在平衡態上展開，再忽略二次以上的項，如此做的好處是將非線性
方程式線性化，一定有解析解，壞處則是無法求過度偏離平衡態的解(所謂微微偏離平衡態
的定義就是高次項比一次項小至少一個尺度)
先求靜力平衡態，所謂『靜力』即U=0，『平衡』即變數無時變率：
gk+(▽p)/ρ=0
在直角坐標上展開：
∂p/∂x=0
∂p/∂y=0
ρg+∂p/∂z=gp/RT+∂p/∂z=ρg+∂(RTρ)/∂z=0
就大氣而言，壓強和密度主要是高度的函數，而溫度隨高度的變化則較不顯著。讓我們求
『靜力平衡所伴隨的壓強函數』，方法是先考慮靜力平衡態壓強p0為高度坐標Z的函數：
g/RT+dlnp0/dZ=0
再沿高度坐標Z從地面Z=0(在此使用p0(0)這個邊界條件)積分到實際高度Z=z
p0(z)=p0(0)exp(-z/H)
其中尺度高H為RT/g在lnp0坐標上的平均
同理，讓我們求『靜力平衡所伴隨的密度函數』，方法是先考慮靜力平衡態密度ρ0為高度
坐標Z的函數：
g/R+d(Tlnρ0)/dz=0
再沿高度坐標Z從地面Z=0(在此使用ρ0(0)這個邊界條件)積分到實際高度Z=z
ρ0(z)=ρ0(0)exp(-z/H')
其中尺度高H'雖在數學上與H完全不同，但實際上非常近似(因為溫度隨高度的變化不顯著)
為何要求靜力平衡態呢？想像重力與壓強梯度力拔河，兩力大部分互相抵消，而我們所關
心的是不互相抵銷的部分，故求靜力平衡態以得互相抵銷的部分，不互相抵銷的部分會在
下篇說明，這篇會更深入說明靜力平衡態的特徵和意義
首先，靜力平衡態最重要的特徵就是分層性：重力非常巨大，壓強梯度力為了與之抗衡，
壓強隨高度指數遞減，連帶著密度隨高度指數遞減
其次，必須澄清定義靜力平衡態不需要額外的假設！如同定義位溫只不過定義絕熱條件下
的溫度而非假設絕熱，定義靜力平衡態也只不過定義靜力平衡下的狀態而非假設靜力平衡
不過，靜力平衡態還是有適用條件：∂p/∂z>>∂p/∂x~∂p/∂y，也就是壓強變化的水平
空間尺度遠大於垂直空間尺度。換句話說，在系統分層性不顯著的條件下，靜力平衡態就
不好用了(只是不好用，不是不成立)。
最後，分層性使靜力平衡態變成特別指垂直方向。此後再提到靜力平衡態只保證垂直流速
平衡態為零，不保證水平流速平衡態為零