之前推文算錯 借J大的用微積分簡化一下
※ 引述《jkes890094 (黒猫)》之銘言：
: 我們假設抽蛋時P(優格) = P(靈央) = 1% ， P(其他) = 98%
假設抽到機率為 1/N, N趨近無限大
: P(100抽內有優格) = 1 - P(100抽都沒優格)
: = 1 - 0.99^100
: = 0.634
P(N抽內有優格)=1-(1-1/N)^N
=1-e^{-1}
=0.632
: P(抽齊優格+靈央) = P(有抽到優格) + P(有抽到靈央) - P(有抽到優格或靈央)
: 其中P(有抽到優格) = P(有抽到靈央) = 0.634 剛才算過了
: 剩下要算的就是P(有抽到優格或靈央) = 1 - P(100抽沒優格且沒靈央)
: = 1 - 0.98^100
: = 0.867
: 所以P(抽齊優格+靈央) = 0.634 + 0.634 - 0.867 = 0.401
P(抽齊優格+靈央) = P(有抽到優格) + P(有抽到靈央) - P(有抽到優格或靈央)
= 1-e^{-1} + 1-e^{-1} - (1-2/N)^N
= 1-2 e^{-1} + e^{-2}
= (1-e^{-1})^2
= 0.400
另外這裡可以猜出來 N抽內齊m種限神的機率是 (1-e^{-1})^m=0.632^m
(假設 m << N)
最後來算要多少抽才能"抽齊" 一開始的(1-e^{-1})這個數字不錯
就拿來當這個目標機率目標 假設抽了kN次
P(抽齊優格+靈央) = P(有抽到優格) + P(有抽到靈央) - P(有抽到優格或靈央)
= 1-(1-1/N)^{kN} + (1-1/N)^{kN} - (1-2/N)^{kN}
= 1-2 e^{-k} + e^{-2k}
= (1-e^{-k})^2
=> (1-e^{-k})^2=(1-e^{-1})
=> e^{-k}=1-(1-e^{-1})^{1/2}
=> k=-ln(1-(1-e^{-1})^{1/2})=1.59
所以要花1.59倍的魔法石才能"抽齊"兩支限神
要抽齊五隻不同限神的話 就把上面的2換成5
k=-ln(1-(1-e^{-1})^{1/5})=2.43
花2.43倍的魔法石可以抽齊