課程名稱︰管理數學
課程性質︰必修
課程教師︰黃以達
開課學院：管理學院
開課系所︰財務金融學系
考試日期（年月日）︰(take home) due to 101.12.21
考試時限（分鐘）：X
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
一、20% (Tiao’s lemma 1) 3
設A為正定矩陣，請證明對於任意c∈R ，必定有: (c^(T)Ac)*(c^(T)A^(-1)c)≧(c^Tc)^2
(Hint:令x=c+αA^(-1)c，其中α為任意常數。)
二、20% (平方根分解)
設A為一個對稱正定矩陣，請回答下列問題。
(1)15% 請證明必存在一個矩陣 A^0.5 ，使得 A= A^0.5 * A^0.5。
(2)5% 若將題設改為半正定矩陣，請問上一小題的結論依舊會成立嗎？
三、20% (多元常態分配的標準化)
~ ~
設X～Np(μ,Σ)，其中Σ為一個正定矩陣，請回答下列問題。
(1)5% 請證明存在Σ^-0.5，使得Σ^-1=Σ^-0.5 * Σ^-0.5 。
(2)5% 若將題設改為半正定矩陣，請問上一小題的結論依舊會成立嗎？
~ ~
(3)10% 請尋找M矩陣以及b向量使得 M(X+b)～Np (0,I )。
p*p
四、20% (極值問題I)
已知一雙變數函數如下：f(x,y)=9xy-x^3-y^3-6
(1)10% 求此函數所有的臨界點。
(2)10% 請判斷每個臨界點的行為，是鞍點還是何種相對極值點？
五、20% (極值問題II)
已知一雙變數函數如下： f(x,y)=(1/x) + xy – (8/y)
(1)10% 求此函數所有的臨界點。
(2)10% 請判斷每個臨界點的行為，是鞍點還是何種相對極值點？