課程名稱︰管理數學
課程性質︰必修
課程教師︰黃以達
開課學院：管理學院
開課系所︰財務金融學系
考試日期（年月日）︰101.12.07
考試時限（分鐘）：50
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
一、24% 假設A為一正定的矩陣且A^-1存在，請證明
(1)8% A的特徵值必定大於零。
(2)8% A^-1的特徵值必定與A的特徵值成倒數。
(3)8% A^T的特徵值必定與A的特徵值相同。
二、16% 設A為一個實對稱矩陣，請證明以下命題。
(1)8% A的不同特徵值所對應的特徵向量必線性獨立。
(2)8% A的不同特徵值所對應的特徵向量必垂直。
三、8%
請證明不同的特徵值所對應的特徵向量必定線性獨立。
四、5%
設A為一n階方陣，且特徵值分別為λ1、λ2、...、λn 。今定義A的特徵多項式為
f(λ)=det(A-λI)
請利用特徵多項式證明下列事實。
n
(1)8% tr(A)= Σλi
i=1
n
(2)8% det(A)= Πλi
i=1
五、16%
┌ 4 2 -5┐
A= │ 6 4 -9│
└ 5 3 -7┘
(1)8% 求此三階矩陣的特徵值。
(2)8% 求每個特徵值所對應的特徵空間。
六、20% (多重選擇題)
設B為一個四階矩陣，已知B有四個特徵值分別為-2、0、1、2。根據以上的資訊，請問下
列哪些敘述必定是正確的？
(a)N(B^TB)的維度是1
(b)rank(B^2 - I)=3
(c)det((B+I)^(-1)(B+3I)^T)=12
(d)(B^(2) + I)的反矩陣存在
(e) tr((B+I)(B+3I))=16
七、30%
┌ 0.2 0.4 0.3 ┐
A=│ 0.4 0.2 0.3 │
└ 0.4 0.4 0.4 ┘
(1)5% 請證明任意三階馬可夫矩陣必定含有特徵值為1。
(2)5% 請求出此矩陣的所有特徵值。
(3)10% 請對此矩陣做對角化。
(4)10% 請求 lim A^n=？
n→∞