課程名稱︰應用數學方法
課程性質︰數學系選修、數學研究所選修、應用數學科學研究所選修
課程教師︰薛克民
開課學院：數學系
開課系所︰理學院
考試日期︰2014年04月24日(五)，15:30-17:30
考試時限：120分鐘
是否需發放獎勵金：是
試題 :
National Taiwan University Spring Semester, 2014
MATH 7421 Method of Applied Mathematics
　　　　　　　　　　　　　　　　　Midterm
Date: 15:30-17:30, April 24th, 2014
　．Open Books
1. (40 points) Consider an algebraic equation of the form
　　　　　　　　　　　　 4
　　　　　　　　　　　　x　- εx - 1 = 0
　　for x, where ε in R is a parameter.
　　(a) (20 points) Suppose that ε<<1, find approximate expressions, correct
　　　　to terms of O(ε), for each of the four solutions of the equation.
　　(b) (20 points) Suppose that ε>>1, find the leading order (non-zero)
　　　　approximations for all four of the solutions. In addition, find a more
　　　　accurate approximation to the smallest root in this case.
2. (20 points) Verify that
　　　　　　　　　　　 1
　　　　　　　　　　　∫exp[-x*cosh(t)]dt ～ (2π/x)^(1/2) * exp(-x)
　　　　　　　　　　　-1
　　as x →∞.
3. (40 points) Consider an integral of the form
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∞ ixt 　　　 2　-x
　　　　　　　　　　　　　　I(x) = ∫ e　　 (1 + t ) dt
　　　　　　　　　　　　　　　　　　-∞
　　for x in R.
　　(a) (10 points) Find the function ψ(t) so that I(x) can be rewritten in
　　　　the following form
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∞　xψ(t)
　　　　　　　　　　　　　　　　I(x) = ∫　e　　　dt.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -∞
　　(b) (10 points) Determine the steepest descent path.
　　(c) (20 points) Find asymptotic approximation of I(x) as x → ∞.