※ 引述《caron0225 (淯仔)》之銘言：
: 最近工作上遇到一個熱傳計算的問題，想求助版上神人們的看法
: 有一個初始溫度T1的金屬板浸水降溫，上下兩面都與水接觸
: 相對寬度與長度方向足夠遠的金屬板厚度中心位置，只考慮熱量只沿厚度方向
: (往上與往下)流失。
: 冷卻水假設恆定溫度T0(可能是因為水一直不斷更新，水溫不會升高，不考慮對流)。
: 給定金屬板的熱傳導係數k，比熱容c，密度p，
: 有一個年代久遠不知道哪裡來的冷卻計算公式(目前沒人懂，但是蠻準的，誤差不超過5度)
: 公式如下圖
: https://imgur.com/c35o8xW
: 想了解這公式如何推導出來的，我自己嘗試建立這個模型的熱傳方程(找不到前輩問)
: 如下圖
: https://imgur.com/avN9pb8
: 我本身沒學過熱傳學，自己上網查一些資料與計算範例後，假設出來的模型。
: 得出來的結果跟那個神祕的冷卻公式只差一個係數pi
: 但是看了很多類型的例題，通常只有幾何有牽涉到圓形或是球形才會有pi出現
: 自己考慮的是一個長矩形金屬板，不應該有這個pi。
: 但是少了這個pi，跟實務上的誤差差很大...(20度以上吧)
: 這點讓我困惑很久，所以來這版上尋求神人的協助!!
: 在這先感謝版上大大耐心看完我的問題!!
感謝大家提供的參考資料與建議。
花了點時間思考以及歸納了一下，還是有些困惑想再請教。
小弟先把具體的冷卻模型說明清楚。
金屬板延押後(延押後高溫狀態)直接進入傳送帶進入下一個加工工程。
傳送帶置於水箱軌道中，希望當半製品進入下個加工工程時，溫度必須夠低。
傳送帶是鋼製網狀大孔隙，所以金屬板傳送過程中，上下兩面均可接觸到水。
基於以上描述，小弟單純一點，僅假設金屬板是透過溫差流失熱量。
暫時不考慮水的對流對冷卻加成的影響。
只考慮金屬板中心位置，距離長度方向與寬度方向夠遠。
所以僅假設中心位置熱量是垂直上下傳遞至表面。
整個傳熱系統以下圖來示意:
https://imgur.com/wTb3R33
根據 shiow1026 大大提供的youtbe參考資料，我的熱傳系統剛好跟那個
youtbe參考資料一模一樣。
所以我嘗試套用熱擴散方程求解我的傳熱系統，我想我的偏微分方程
與邊界條件應該長這樣(如下圖):
https://imgur.com/VcllkS2
為了利用維基百科提到的分離變數法來解這個PDE，我把偏微分方程組改寫
如下圖:
https://imgur.com/yRDBXcF
那個維基百科沒說式中的 Gamma(z,0) 一定要連續函數吼?
(P.S. 但是這裡不連續讓我覺得很奇怪?是不是應該要在金屬與水的
介面考慮對流交換熱係數比較恰當!!?應該可以避免邊界不連續的假設)
所以應該可以套用同樣的分離變數法，得到如下圖的無窮級數形式的函數解
滿足我的偏微分方程組。
https://imgur.com/Q6Yr3OJ
(Bye the way，那個youtuber寫的solution好像exp裡面少了平方...
不然不滿足PDE方程，可能是筆誤吧。)
由於級數的偶數項恰好為0，讓 n=2m+1，並只考慮 z=a/2 位置的溫度對時間關係
則原函數解可以改寫成下圖:
https://imgur.com/I3jQKBf
顯然是一個交錯無窮級數形式，且a_m數列單調遞減。
根據交錯級數的特性，我可以很容易確認這個無窮級數收斂。
此外，級數的首項可以當上界(也可以多取幾項，得到更小上界)
https://imgur.com/nPEXQmK
原本想說，只要能證明上篇文獻提到的那個古老公式可以當上界(如下圖)
https://imgur.com/9mkUCCN
就能確定該古老公式是合理的。
但是我利用電腦代幾組係數至原函數計算幾個特例的有限項，發現
該古老公式都小於原函數解...(如下圖)
https://imgur.com/Pckvx4F
感覺應該用首項或是取前幾個有限項來當計算公式去評估實務上的降溫才正確。
不過或許是因為我忽略水的對流對金屬板的散熱的效果，上述系統的PDE過於
保守，導致PDE解計算出來都高估溫度。
(不過用PDE的解確實比上篇的ODE得到的解更接近實務的結果)
小弟自己猜測，那個古老公式可能是某位前輩根據實務的經驗，在熱導係數上
作了一些權重調整而得到的結果。(也可以讓公式看起來簡潔漂亮吧)
這裡是我自己的猜測啦，也希望版上大大能提供小弟一些觀點或看法，一起討論。
這裡補充下，其實實務上做測溫驗證也只量測金屬板表面溫度啦，公司內沒有可
以非接觸式探測內部溫度的設備...
上篇提到古老公式比較準，這個說法好像不太正確。
由於大部分半製品金屬板不算太厚，也許運氣好，還沒出現低估溫度的狀況。
(嚴重低估溫度導致後面加工不良應該會被老闆給炒了吧...)
最後，讓我很困惑的一點是，為何很多熱傳的計算例題都不需要用到
熱擴散方程來描述與計算??大多都採用 H=KA(T1-T0)/L 這種方式計算。
小弟也還無法直觀的理解熱擴散PDE裡面的溫度對空間偏微分兩次的項
是怎麼來的?
小弟google了熱擴散方程，一直找不到能講清楚熱擴散方程的起源或推導的
相關資料。很多文章一開頭就直接給出熱擴散方程= =|||
另外 UMChen 大大有提到 Biot 數跟 lumped capacitance model。
google一些資料，不是很懂，感覺 Biot 數應該是一種用來評估熱傳系統
是否需要考慮溫度與空間的關係。
而lumped capacitance model感覺跟我上一篇推導的ODE過程很類似!?
希望能提供更多Biot數與lumped capacitance model的計算範例或參考資料~
感謝大家耐心看完我的疑問，懇請版上大神能指導一下!!!