2011年02月12日（六） 10：00～12：00
一、「古怪路」上住了53 戶，由近而遠分別編為1, 2, 3,……, 53 號，而且相鄰
的兩戶的間隔都是十公尺。偶數編號的住戶都沒有小孩,奇數編號 2k+1的住戶
正好有(2k+1)^2個小孩。試問：
(1) (3分) 「古怪路」上一共有▁▁▁▁▁個小孩。
(2) (4分) 現在要選擇一個住家讓所有「古怪路」的小朋友前來舉辦派對。若想要
讓小朋友走到舉辦地點的距離之總和達到最小, 應該選擇編號▁▁的住
家來舉辦派對。
二、(7分) 將10個箱子編號為1,2,3,……,10，另將10個球編號為1,2,3,……,10。
今規定編號 i的球只能放入編號1,2,3,……,i的箱子， i = 1,2,3,……,10。
求恰有一個空箱子的放球方法數？答：▁▁▁▁種。
三、在直角△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，其中圓O_1,O_2,……,O_n為
n(n≧2) 個相等的圓，令其半徑為r。圓O_1與圓O_2 相外切，圓O_2與圓O_3相
外切，……，圓O_(n-1)與圓O_n相外切，圓O_1,O_2,……,O_n都與AB相切，且
圓O_1與AC相切，圓O_n與BC相切。試問：
(1) (2分) 當n = 2 時，r = ▁▁(化成最簡分數)。
(2) (7分) 當n = 2011 時，r = ▁▁▁▁(化成最簡分數)。
四、(7分) 平面上有12個點，且任意三點不共線，以其中任意一點為始點，另一點
為終點作向量，且作出所有的向量。其中 3邊向量的和為零向量的三角形稱為
“零三角形”。求以這些點為頂點的“零三角形”個數的最大值？答：▁▁。
五、質數p 滿足兩個關係式: (i) p = m^2 + n^2；(ii) p可整除m^3 + n^3 - 4，
其中m 與n 是某兩個整數(可以相同)。試問：
(1) (3分) 由以上條件可以推導出：如果p≠2，則p 可整除(m + n)^▁ + ▁。
(註: 前格表示次方數)
(2) (7分)已知滿足以上條件的質數是有限多個，試求：這些質數的總和？答：▁▁。
────────────────下一頁為解答────────────────
1. (1)26235 (2)43
2. 1013
3. (1)5/7 (1)1/805
4. 70
5. (1)3；8 (2)20