Q. Which of the following statement is true?
(A) Every matrix is row equivalent to a unique matrix in echelon form.
(B) Any system of n linear equations in n variables has at most n solutions.
(C) If a system of linear equations has two different solutions, it must have
infinitely many solutions.
(D) If a system of linear equations has no free variables, then it has a
unique solution.
(E) If A is an m x n matrix and the equation Ax = b is consistent for some b,
then the columns of A span Rm.
(A) False, echelon form 不唯一，reduced row-echelon才會唯一
(B) False, 可能「有解(唯一/無限)、無解」
(C) False, 有可能是「唯一解、零解Trival solution」
(D) True
(E) False, 對某些b才有解，代表Range(A)不能涵蓋整個對應域Rm
這是我的想法，但是我不確定(A)和(D)，想問一下大家的想法，謝謝。

你對C的理解錯了 這是已經確定存在兩個不同解的狀況D可以無解 no free variable只能確定不是無限多解

D: Ax=0 ,det(A)=\=0 無解 & trivial

Ax=0，A可逆的解就是x=0喔不是無解

謝樓上Ax=0 A可逆是只有trivial 我多想了sor .D無解情況是Ax=b A可逆 b Cs(A)b不屬於Cs(A)

A可逆的話解就是A^(-1)b喔 CS(A)會是整個空間無解的情況是A為瘦矩陣的狀況舉例來說就是x-y平面上三條線沒交於一點的時候

謝謝 我罰自己回去複習

所以(C)Ax=b，有兩個對值域到同一解，nullity!=0，無限多解，然後(D)是Ax=b，no free var可能是無限多解/無解感覺我(D)想錯了，R大要說的是Ax=0情況下，也是no freevar(A可逆)，只有trival solution，沒有unique solution不知道我這想法對嗎?

trivial solution就是unique solution啊no free variable就一定不是無限多解但可以有唯一解或無解 現在如果A可逆那就一定唯一解應該直接這樣問，你知道沒有自由變數是指什麼情況嗎？

自由變數就是方程式寫成擴增矩陣消去後，未知數-有意義的方程式，剩下的就是任意常數所以意思是無解的RREF，就像你上面說三條線平行的情況也是屬於no free var的情況嗎?照這樣想的確(D)是False

有平行的反而是有free variable的狀況我說的是三條線不是交於一點，而是兩兩交於一點nullity會跟free variable的個數相同我其實看不懂你對free variable的解釋free varible就是非pivot variable的variable而且這跟增廣矩陣沒關係，A本身就看得出來有沒有f.v.