※ 引述《j6zoz04 (RTOO)》之銘言：
: 各位好
: 最近在做一些簡單例子(ex.懸臂樑、單軸拉伸)的有限元分析時，想到一些疑問的地方:
: 當不斷對結構施加力時，力-位移 的關係由 線性 逐漸進展到 非線性，此時的確材料
: 發生降伏。
: 就我的認知有限元的求解是 given 力 -> 位移 -> 應變 -> 應力
: 但是力-位移的關係是非線性就能代表後續 位移-應變、應變-應力 的關係是非線性的嗎?
: 或許這些關係存在某種相依性? 又或是我個人有思考不周的地方?
: 在此感到困惑，也不太確定這是力學的問題還是有限元的問題，故來向各位請教，
: 謝謝
有限元素法的非線性大致上可以分成三種
1. 幾何非線性 (Geometry nonlinear)
2. 材料非線性 (Material nonlinear)
3. 接觸非線性 (Contact nonlinear)
幾何非線性來自於大變形理論，是由於幾何形狀的改變造成，
在有限元素法中，還包含了元素變形造成數值積分誤差產生的
非線性行為。
材料非線性來自於本構方程式(應力-應變關係)的非線性，是因
為材料本身的非線性行為(塑性、黏彈性、非線性彈性)。
接觸非線性來自於邊界條件的改變(通常是接觸狀態的改變)。
至於你的問題，位移-應變的非線性關係來自於 1.幾何非線性；
應變-應力的非線性來自於 2.材料非線性；但還有一種非線性是
接觸非線性，所以力-位移的關係非線性，不一定位移跟應變是
非線性的，可能是2，也可能是3，或者2+3。同理應變跟應力也是。

謝g大，請問力-位移的非線性只有接觸問題嗎? 因為我做的懸臂樑、單軸拉伸這種並不是接觸問題，還是會有力-位移的非線性。感覺上只要滿足2 or 3 就會造成 力-位移 的非線性，但不清楚這些關係的相依性。

1, 2, 3都會造成力-位移的非線性力-位移 (統御方程式)的解就是滿足上面這全部關係式的解

有點不解g您第二段話，根據G.E的位移解來求得的應變、應力。跟 應變-位移、應力-應變之間的線性非線性與否，感覺像是兩回事

只有3條統御方程式無法求解，所以必須再加上應變-位移，本構方程式、協合條件這些方程式才有辦法求解出位移解所以力與位移關係的線性或非線性，取決於這全部方程式是線性還是非線性的。建議你可以稍微了解一下彈性力學理論，這樣會對你做這些事有比較深入的理解

就以前上課的內容，似乎可以靠3條平衡方程式(Navier’s Equation)來解出位移的。似乎和g大您說的不太一樣，或許只能實際去找個問題解解看

Navier stoke eq.是incompressible flow的special case並不是generalized的force equilibrium eq.generalized force equilibrium eq會有應力張量9個變數+力量三個分量+加速度3個分量，共15個變量，只有三條方程式怎麼解出15個變量?

因為我看Equations of Equilibrium in Terms of Displacements (Navier’s Equation) 感覺可以靠3條方程解出3個位移，剩下的(應變、應力)就可以靠關係式解出。至於加速度，在彈力中不是=0嗎？

你可以試試看，如果解出來再分享一下

我個人覺得這三個效應應該可以獨立施加在物體上，比如說一個懸臂樑在樑總長的一半位置有一個側向力施加，雖然並未達到塑性區域，但是如果看自由端的位移卻可能已經非常大，必須要考慮幾何非線性才會正確。