剛才在 facebook 的 BTU 社團放了一張 16 牌新舊 VP 對照表, 和兩種換算的折線圖.
新 VP 函數圖形真的是我用 Excel 畫的折線圖, 但肉眼看來彷彿是可微分的平滑曲線.
推 allfail:講了半天我還是看不出來exp有甚麼特別好的... 01/03 16:35
因為 Henry Bethe 在信中本來就沒仔細講, 為何他們認為 exp 比較好啊.
* One of the things we did was to look at the effect of the choice of
formula on the VP impact of bidding a vul game, e.g. the +10 vs -6 effect.
The choice of formula has significantly different outcomes.
* Another issue for us was the second derivative, which was much better
for the exponential function.
* And we decided that we did not want a function that, like a quadratic,
would have a maximum value outside the range and then turn down.
以上 Henry 在信中寫的三件事, 第三點排除了一些函數, 個人也相當同意這一點,
但前兩點都不知道是什麼意思. 尤其第二點, 怎樣的二階導函數是 much better?
關於第一點, 今天下午我動手用 Excel 做了計算, 發現有身價 +10/-6 與無身價
+6/-5 造成叫 game 所需的機率變動的確很特別, 和原先我自己的想像相當不同.
不算就不知道, 真的動手算了才知道. 資料整理完我會貼上來.
→ allfail:IMP差靠近0的時候我覺得線性比較好... 01/03 16:36
→ allfail:因為exp=前幾個imp最重要, 但是最前幾個imp運氣成分最大 01/03 16:37
這個函數在零附近的確很接近線性啊.
以 16 牌為例, 勝隊 VP = 10 + 10*(1-tau^(x/20))/(1-tau^3),
其中 x 是 IMP 差距, tau = (5^0.5-1)/2 (黃金分割).
將指數部分以 e 為底改寫, 變成 e^(kx), 其中 k = ln(tau)/20, 近似值 -0.02406.
將 e^(kx) 以泰勒級數展開, 一次項和二次項的係數比例大約是 0.02406:0.0002894,
接近一百倍. 所以在 0 附近, 二次項及更高次項對函數值的影響相當小.