查資料的時候找到的
覺得寫的不錯大家加減看看吧ˊˇˋ
※ [本文轉錄自 Math 看板 #1Ezr169b ]
作者: PaulErdos (My brain is open) 看板: Math
標題: Re: [微積] 泰勒與馬克勞林級數有什麼關係阿
時間: Mon Dec 26 00:33:07 2011
※ 引述《sparta40 (該死的斯巴達)》之銘言：
: 感覺這兩個級數非常相似
: 所以想了解一下他們的關係
: 可不可以請大大稍微解惑，或是講講古@@
: PS：我實在搞不懂創造 這兩個級數 有什麼好處
多項式是一個很棒的函數
好處之一是它可以微分無限多次
這種函數應該發予良民證 實在太棒了
不過就這點而言還不夠特別
指數函數、三角函數也都可以發予良民證
多項式還有一個好處是比較好代值
13 8 5
譬如說 P(x)＝ x ＋4x －3x ＋ x － 2
如果我們要算 P(3.01)
很煩 但起碼能算
但像是sin1
就不會算那麼久 因為根本不會
所以就有個想法
當我遇到一個函數的時候
我可不可以寫出一個多項式 是跟它很接近的呢?
或者至少 在我要算的點附近是很接近的
譬如說剛剛的sin1 如果我的多項式只能在 [0,2] 很接近 sinx 那也夠用了
待我寫出來以後
那麼 在這所謂的"附近" 裡面
就可以把我原來想對那個函數所做的一些事情 改對這個多項式做
舉凡 代入、加減乘除、次方、微分、積分
所以當然 這個"附近" 便越大越好
在這"附近"裡頭 我們說這個多項式收斂到那個函數
那麼 到底要怎麼在a點的附近 用多項式p(x)逼近一個函數f(x)呢 ?
首先 當然最好能 f(a) ＝ p(a)
再來 如果f可以微分的話, f'(a) ＝ p'(a) 就更好了 更逼近
.
.
.
(n) (n)
得寸近尺 只要f可以微分n次 我也希望 f (a) ＝ p (a)
按照這個想法, 就可以寫出
(n)
f"(a) 2 f (a) n
f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋...
2! n!
你可以等號兩邊代a 看是否相等
微分一次以後代a 看是否相等
微分n次以後代a 看是否相等
於是你便可以知道 為什麼泰勒級數長這個樣子
用這個就可以很輕易寫出
x 1 2 1 n
e ＝ 1 ＋ x ＋ ─ x ＋ ... ＋ ─ x ＋ ...
2! n!
1 3
sinx ＝ x － ─ x ＋ ...
3!
1 2
cosx ＝ 1 － ─ x ＋ ...
2!
而這三個函數的泰勒級數 收斂區間都是整個實數
x
我們知道 e 微分以後會等於自己
我們現在把它的泰勒級數微分看看
1微分以後是0 x微分以後是1 .... 後面每一項微分都變前一項
但它有無窮多項
所以真的等於自己
你還可以再檢查
sinx的泰勒級數 微分之後就變成cosx的泰勒級數
cosx的泰勒級數 微分之後就變成sinx的泰勒級數整個多負號
不過
(n)
f"(a) 2 f (a) n
f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋...
2! n!
告訴你的
只不過是一般性的做法
一般而言 只要f可以微分n次 我就可以照著操做寫出一個n次多項式來逼近
卻不代表
(1) 寫出來的東西會有足夠大的區間
有可能寫出來卻發現只在一個點逼近
(2) 只能這樣寫
事實上我們還是可以根據不同的函數 用不同的方法寫出多項式出來
Brook Taylor提出他的理論是1715年的事情
然而十七世紀那些微積分先鋒們
-1
就已經寫出 sinx cosx tanx 等等函數的多項式展開
各自用了些奇奇怪怪的辦法
不過 我們不需要會一些奇招怪技
只需要會一些很基本的辦法
1
譬如說 ── , 除了用那個一般性做法
1－x
2 n
也可以直接寫出 1＋x ＋x ＋ ... ＋x ＋ ....
為什麼呢? 因為那就是無窮等比級數的和呀
從此還得知了 收斂區間就是 (-1,1)
1
那麼 ─── 呢 ?
1＋2x
1
把它看成 ──── 就可以了 也就是說 用-2x代在x
1－(-2x)
2
所以就是 1＋(-2x)＋(-2x) ＋ ...
㏑(1＋x) 呢 ?
1
它就是 ─── 的積分嘛
1＋x
2 3
所以先寫出 1－x ＋x －x ＋ ....
2
x
然後積分出 c＋x －─＋ ...
2
因為㏑(1＋0) ＝ c＋0＋0＋.... 可以得知c＝0
2
x
所以就寫出 ㏑(1＋x) ＝ x －─＋ ...
2
那如果是sinxcosx 呢 ?
可以各自展開以後再相乘
sin(2x)
也可以看成 ──── 所以從sinx的展開代2x 再整個一半
2
-1 1
tan(x) 呢 ? 它的微分是 ─── 嘛
1＋x^2
再舉個例子
tanx－sinx
lim ──────
x→0 x^3
一個方法是乖乖地羅必達三次
但我們也可以寫出它們的泰勒展開 變成
3 3
x x
(x＋─＋ ...) － (x－─＋... )
3 3!
lim ─────────────── 不必展太多項
x→0 x^3
1 1 1
馬上就看出答案是 ─ ＋ ─ ＝ ─
3 6 2
大概是這樣