※ 引述《oooooee ()》之銘言：
: ※ 引述《s58565254 (猜囉)》之銘言：
: : 圖中（沒附圖）
: : 有四個盤子，每個盤子有兩個糖果，請問全部有幾個糖果？
: : 這題為什麼一定要
: : 2*4=8 不能4*2=8
: : 2*4=8的意思不就是
: : 每盤2個，總共有四盤，所以有8個
: : 跟4*2=8的意思
: : 有四個盤子面各有2個糖果，所以有8個
: : 這到底差在哪好裡為什麼4*2=8列式是錯的？？
: 這順序根本就沒差好嗎
: 只有特別龜毛的老師才會覺得有差
: 而且這種老師肯定也把假分數扣分，自己規定一定要帶分數形式
: 或者是自己課堂規定寫1/2，寫0.5者扣分
: 回歸正傳，如果乘法的順序有差
: 那麼
: F=ma
: F=am
: 請問那個老師能指出差異嗎?
: 沒多少學問的中小學老師才愛找學生麻煩
概要寫前面
了解手上操作的東西的定義才能做事
相信公設、熟稔自己操作的東西是個什麼，這才比較像數學的本質
這題改錯是為了提醒學生要注意算子的定義
可交換什麼的不是general case
另外我也不是本科，有錯麻煩指正個
運算子的前後一般是有順序差異的
最常見的例子就是有理數系的「除法」
或說，試著乘上後者的乘反元素
let A!=0 ，B!=0
假如我們寫下A/B
依照「/」這個算子的定義我們表達的事情是 A*(b)
也就是「前者乘上(後者的乘反元素)，如果後者不為0元素」
根據我們習慣的乘法公設我們可以知道
因為A、B都不是0元素，所以存在a作為A的乘法反元、b作為B的乘法反元
因為B的乘反元b剛好真的存在的關係，所以這句話我們可以放心地「/」下去
而假如我們寫下「B/A」，同樣地按照一般的「/」算子定義
我們想要表達的事情是 B*(a)
可以看出兩個式子指的是完全不同的事情
不可交換也是很容易可以推得的
另外一個常見的例子是國中引入的、給矩陣使用的「乘法」
在這個例子下我們討論的是有限維度的實矩陣
所採用的乘法實際上可以視為對左矩陣col取線性組合
也可以視為對右矩陣row取線性組合
總之這個例子我們也可以很快發現這個 矩陣乘法算子 前後operand對調的意思不一樣
所產生的結果自然也不一樣
還有一個常見的「算子有左右之分」的例子是一般常見的程式語言
// ptt.cpp
int i = 0; // valid.
int 0 = i; // compile error
這裡的"="是賦值
很明顯的我們不希望常數也可以被賦值，所以compile不會過
這也是個算子前後該放的東西不一樣的一個例子
從上面這三個例子我們可以看出
算子本身常常是不對稱的
寫在哪邊的意思差很多
「乘」這個算子也不例外
那麼，中文的語句到底該怎麼對應到「*」這個運算子的兩側呢？
如果是對應生活化的問題的話
https://goo.gl/tuD4AG
https://i.imgur.com/cK3NdD4.png
「…。等組型題目是先確定每組個數相同，
再將每組的物體聚集在一起，其中涉及單位量和單位數 2 種單位，…」
也就是說，中文而言，我們習慣把「每個單位有多少量」放在乘法算子的前面
「共有多少個單位」放在後面
也就是說，至少對於有理數系，我們定義的「*」的用法是
「把前者累加很多次，多少次呢？剛好後者這麼多次」
例如：
kp每天固定抓頭抓掉60根頭毛，整個十月共抓掉了幾根？
這題來說我們想要知道
10/1掉了60根
10/2掉了60根
(ry
10/31掉了60根
60 + 60 + 60 + ... + 60
by definition我們知道這可以寫成60*31
by 計算機/表/按照定義算，我們可以知道總共是1860根
因此kp整個十月自己抓掉了1860根頭毛
假如要說這個例子要用31*60去算
要嘛學生已經非常熟悉了有理數系交換律
要嘛學生絕頂聰明
他認知到了十月的每天都有第一根頭毛掉下來，共有31天，簡單加法得到31根
十月的每一天都有第二根掉下來，共有31天，簡單加法得到31根
(ry
我要這樣做60次，所以我才寫了31*60
either case如果附上理由說明的話，我想老師應該會給點分數
常見問題：
Q1:
「外國都不是這樣寫啊，數學這東西總有且僅有個定義才是對的吧」
me:
首先我很慶幸你有「有且僅有」之類的觀念
但是一個數學系統是不需要從同一個定義、同一組公設出發的
尤其在我們基本上可以把這兩種系統視為一模一樣的系統的時候
例如你開心的話你家的
https://i.imgur.com/0MaUtXY.png
可以定義成前者改成前者自己的乘反元、放到乘法算子前面
後者直接放到乘法算子後面
兩者再進行運算
只是這樣別人提到a/0會出事的時候
你覺得奇怪的點在於「這很正常啊，奇怪的是0/a這個狀況吧」而已
btw 這是因為一般沒有定義0的乘反元素
也就是說
剛好就只是外國的「multiplication」算子前面後面剛好跟我們放反邊而已
容易驗證這兩個語言定義的field基本上是同構的 吧…說不定我漏了些步驟
也就是說我們兩種看似相反的寫法實際上指涉的事情可以說是極盡相似的
加上大家都熟悉了有理數系乘法的交換律
所以平常寫前寫後都沒在管一開始到底怎麼定義的
Q2:
實際上先看到四個盤子再看到每個盤子有兩個糖果
所以我寫4*2
很對啊
me:
麻煩翻一下上面的pdf以及kp頭毛例子
如果你不覺得這個定義適合中文使用的話
那麼你會回到上面Q1，只有你覺得0/a這句話很奇怪的情況
Q3:
為什麼要在小學扯矩陣扯operator扯不可交換環？
實數裡面就長這樣啊
me:
可是瑞凡
只有談實數系的話我們缺了很多東西
不如一開始就讓學生知道、習慣不是所有符號寫在兩邊都沒差的
只有有理數加法跟有理數乘法剛好方便到我們可以亂玩
總而言之，乘法就是個二元算子
給定一個集合，我們可以隨意地定義這個算子左右兩邊的符號該怎麼操作
只要它長得夠「像」一般常見的實數乘法我們就稱作他是「乘法算子」了
甚至討論的東西裡根本沒有一般認為的「數」也是沒問題的
然而並不是所有集合內都能找到很好的、可交換的結構
這時候我們需要做出些取捨
交換律常常就是一個被丟掉的東西，僅此而已
就算不可交換我們也可以玩出很多花樣
最易懂、最常見、又很實用的例子是線性代數
而線性代數入門正是矩陣
因此前面幾篇常常可以看到這兩個字