※ 引述《staybehind (stay)》之銘言：
: 標題: Re: [閒聊] 數學，永遠的痛
: 時間: Sat Mar 28 00:19:43 2015
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: 仔細回想以前上數學課的經驗，我發現老師的教學方式真的滿重要的。
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數學是門很難的科目，學生難學，老師難教。
數學會難的原因之一，是因為數學不像語言那樣容易靠直覺學會（不信的話
可以去學學看拓樸學），所以很多人小學算術都還可以，到了初中以後
的代數和幾何，就開始有人覺得學不下去，到了高中的解析幾何、排列組合
、三角、矩陣等等，就越來越抽像，越來越難學。這時候就開始有人考慮大學
選不必用到數學的科系了。
大學那些選擇工程和科學的學生就得學好微積分，在微積分的基礎上建立高等
微積分（分析學）、（偏）微分方程、線性代數、複變數分析等等工程數學和
自然科學用得到的數學。這時候就可以看到PTT 上面有人在抱怨拉普拉斯轉換
、傅立葉轉換很難等等。但其實這些都還是偏計算的範圍（高微除外），只要
把概念搞懂，做題目時會根據概念解題都還可以。
如果是數學系的（純數，應數不算），要處理的就不是把概念搞懂然後會計
算這種「流程」。純數學生處理的很大部分是概念的辯證，要寫證明來支持自
己的意見。這時候的數學，味道跟普羅大眾所認識的數學南轅北轍，到了研究
所的純數學，跟一般人的理解更不一樣。所以如果要問數學的核心工作是什麼
，一般人常會有的答案像是計算、解題等等這些他們學數學時的主要活動，並
不是真正的數學活動。就純數學的人來講，原汁原味的數學就是概念的辯證，
透過證明來辯證。如果要問什麼是原汁原味的數學，這就是了。計算和公式只
是數學活動裡很小的一部分。
至於數學是不是要背的問題，就看每個人涉獵到多少數學，答案會不同。在一
個學生還能應付「理解概念–計算」這個流程的時候（依各人不同可能是小學
、初中、高中、大學），基本上是不用背的，因為懂概念，會應用到計算，機
器程式也可以做到，真的不太需要背。當一個學生學到需要處理大量概念之間
的辯證證明時，頭腦裡面裝得下越多概念的越吃香，就跟電腦記憶體容量大的
優勢類似。這時候就看學習者如何把這麼多概念裝到腦子裡面去了。有的人要
背，有的人多接觸幾次自然就記起來了。
不過如果要再深入學習數學，背的功夫能起的作用就越來越小了，因為定義和
定理的敘述方式，每個書本作者會有自己的說法。這時候你背了Ａ作者的定義
定理，遇到採用Ｂ作者書本的課，可能又要重新背一次，因為同樣的定義，Ｂ
作者可能會有不同的敘述；而同樣的定理，Ｂ作者可能會拆成幾個小一點的定
理或lemma 來敘述也可能用不同的符號。
: 發現一些讓自己對數學產生恐懼進而看到它就下意識排斥的原因。
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: 1.沒有解釋原由的省略式教學：
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: 不知道是不是以前我念的剛好是資優生很普遍的學校，
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: 補習對班上的同學來說就像家庭聯絡簿一樣正常（每個人都有），
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: 我因為家境問題從來沒補過習，我是班上唯一沒（辦法）補習的學生。
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: 至今依然清晰記得當老師打開課本第一頁時，說：
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: 「這個大家應該都知道了，我們直接看下一頁。」
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: 然後驚慌失措的我看著大家稀鬆平常地跟著翻頁，沒有任何異狀，
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: 就在不敢提問又聽不懂的過程中度過。
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: 長大偶然聽見一些把小孩送去明星學校的長輩提到，
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: 補習是必要的，因為在學校上課，老師不會再從頭教起，
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: 所以學生至少要具備一點"基礎"，才不會聽不懂跟不上，而老師也方便趕進度。
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: 我才恍然大悟我早就是被淘汰的那群。
如前所述，數學難學也難教。數學的學習還牽涉到社會經濟因素。
這麼難的科目在大班裡面學，個人的需求根本沒辦法被照顧到。加上
家境好的人紛紛去請家教、上補習班的情況下，老師往往預設學生已經
會某些東西而不加解釋。這對學習資源貧乏的學生而言，真的很不公
平。我猜地球上活過的人類裡面，有高斯和歐拉這樣資質的人應該不少，
但有這兩人的際遇的，百分比相當低，也就是說人類歷史上有很多可能
的數學天才被忽略掉了。想想看印度和中國的廣大農村人口可能隱藏的
數學天才，就這麼被釘死在田裡一輩子務農而跟數學絕緣！如果家裡請得
起家教的，真的要感謝父母，因為在我們這種非天才之間的競爭，有家
教和補習班的額外資源，往往決定了考大學的勝負。（當然如果你遇到天
才，不管你有沒有請家教，跟天才比起來，我們都是在地上爬的蟲類。這
是根據敝人遇過智商１６９的同學和教過智商１７２的學生的感觸。這時
候智商都不智商了，對我們而言是「智傷」。）
: 2.提早出現後面才會教到的應用：
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: 不知道大家有沒有碰到這樣的狀況。
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: 就是這個單元教了你這個公式，然後你也很幸運有看懂，
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: 躍躍欲試練習一下範例，卻怎麼兜也兜不起來，
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: 等到開始上後面一點的單元才發現前面那個單元有用到後面單元的東西。
跟前面那一點一樣，這時候如果你有家教，或是去補習班問小老師，也許就
可以幫你度過這一關；沒有的話，算你倒楣。但這明顯不公平啊！