課程名稱︰高等微積分二
課程性質︰數學系必修
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2014.06.17
考試時限（分鐘）：170
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
注意事項：以下九題全做，每題12分。作答時請分成四份，1-2題寫在A卷、3-4題寫在B卷
、5-6題寫在C卷、7-9題寫在D卷。
1. v=(x^2-yz , y^2-xz , -2(x+y)z)，試驗證 div v = 0，並造一向量場 F = (P,Q,R)
使 curl F = v。
2. f_n(x) = sin(nx)， 0 ≦ x ≦ π，問：f_n 是否有逐點收斂子序列？
3. f_n(x)=nx(1-x)^n，問：{f_n} 在 [0 ,1]上是否均勻收斂？
b
4. f_n 屬於 C^1[a , b]，存在 M 使 |f_n(a)| + ∫(f'_n)^2(x)dx < M ∀n。試證：
a
{f_n}有均勻收斂子序列。
∞
5. 令 (x) 表示 x 的小數部分，定義 f(x) = Σ(nx)/n^2，x 屬於 R
n=1
找出f的不連續點，證明這些點在實數中可數稠密，但f在任意閉區間上 Riemann可積
∞
6. ψ(x) = -∫ (e^(-xt))*(sint)/t dt , x ≧ 0
0
∞
(a) 試證：ψ'(x) = ∫(e^(-xt))*sint dt
0
(b) lim ψ(x) = ψ(0)
x→0+
∞ ∞
7. f(x,t) = (cosxt)/t^2+1，問 d/dx∫ f(x,t)dt = ∫f_x(x,t)dt成立否？
0 0
8. x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 1，點(0, 0, 1) 滿足此方程式，問：
(a) 在此點附近，z 是否可表成 z = z(x,y) 的函數形式？ x 是否可表成 x = x(y,z)
的函數形式？
(b) 如可，其可微性如何？
9. 試造一保積寫像把單位球映成正立方體。