課程名稱︰高等微積分二
課程性質︰數學系必修
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2014.3.29
考試時限（分鐘）：170分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
注意事項：作答時將答案卷分成四份，1-2題寫在A卷、3-4題寫在B卷、5-6題寫在C卷、
7-9題寫在D卷，如發生答案寫在不同答案卷上者，將不予計分。四份答案卷的系級、
學號、姓名皆須標示清楚，每少一個扣五分。注意：這學期才修課的同學第一題不用作答
以下九題，每題12分。
_ _ _ _
1. Tx = Ax + b為 R^2 到 R^2 的寫像，A =｜ 0.8 0.2 ｜，給定 b = ｜ 2 ｜，
｜ -0.1 0.7 ｜ ｜-1 ｜
_ _ ¯ ¯ ¯ ¯
x0 =｜ 1 ｜，令 x_n+1 = T(x_n)，n = 1, 2, 3, ... ，問 lim T(x_n) 是否存在？
｜ 0 ｜ n→∞
¯ ¯
若存在，試求其值。
_
2. f(x)=｜ 1, x≧1 ，請適當定義 f 在 (0, 1) 上的函數值，使 f 屬於 C^∞(R)。
｜ 0, x≦0
¯
β
3. 求 lim ∫ ｜sin(nx)｜dx 之值。
n→∞ α
4. 給定 0 ＜ x ＜ 1，試比較 tan(x^2)、tan^2(x)、xtan(x)之值。
5. (a) f convex on (-∞, ∞)。若 f 上方有界，即存在常數 K 使 f(x) ≦ K，∀x，
試證明：f 為常函數。
(b) 請把 (a) 的結果推廣至 R^2，並證明之。
1
6. f 在 [0, 1] 上連續，求 lim (n+1)∫ x^n*f(x)dx。
n→∞ 0
7. 給定 O (0, 0, 0)、A (1, 0, 0)、B (0, 1, 0)、C (0, 0, 1) 四點，試設計一網路
連接 O, A, B, C 四點使網路總長度最小。
1
8. 求 a, b 使∫｜x^3 - ax - b｜dx 最小。
0
_
9. f(x, y) =｜ (｜xy｜^α)sin(1/(x^2 + y^2)) , (x, y) ≠ (0, 0)
｜
｜ 0 , (x, y) ＝ (0, 0)
¯
(a) α= 1，試證：f_x、f_y 在 (0, 0) 點並不連續。
(b) 決定 α 的值使 f 在 (0, 0) 可微分。
p.s f_x、f_y 分別表示 f 對 x 及 y 偏微分。