看到為什麼tap數越多越好
就讓我想到之前有教授解釋過採樣率越高為什麼越好
跟人耳聽不到的頻率這種玄學無關，而是有純粹科學的解釋
以下說明因為我很久沒碰訊號與系統，有錯誤請指正
先來複習一下採樣定理
這是一段聲音訊號在 time domain 會像下圖一樣
https://imgur.com/KfVaUxb.jpg
同樣一段聲音訊號經過 Fourier transform 在 frequency domain 的圖形如下圖
https://imgur.com/xGK051d.jpg
該訊號經過採樣(數位化)後就只剩下以下的紅點
點的間距為(1/44kHz 1/48kHz 1/96kHz...)
https://imgur.com/KlZ7DH9.jpg
這些紅點經過 Fourier transform 在 frequency domain會變成
https://imgur.com/X6dXRn8.jpg
可以看到除了原先中央的訊號外
在所有為採樣頻率f的整數倍上的位置會有相同的圖案(綠色部分)
那麼要把已經數位化的訊號還原成類比就要通過一個low pass filter(圖中方框)
把那些重複的部分濾除
https://imgur.com/KzP2OFF
就可以還原成原本的類比訊號(藍色部分)
這邊補充一下，若是取樣頻率不夠
會造成藍色部分與綠色部分重疊
https://imgur.com/gLthYk6
導致濾不出原本的藍色部分
而圖中的方形low pass filter 經過 inverse Fourier transform 回到 time domain
會是下圖中的sinc function
https://imgur.com/o9mGcmY
這個從數位到類比的過程大致上如下圖所示
https://imgur.com/SfyawAG
每個紅點放入對應的 sinc function 後相加回原本的訊號
理想上的 sinc function 是無限長的且 non causal
無限長很好理解，non causal指的是在還原 t=0 到 t=1之間的訊號時
https://imgur.com/1pPHnGm
就需要把未來的第 2 3 4 個點的 sinc function 相加 (橘線藍線粉線)
因為我們沒辦法預知未來，所以理想上的 sinc function 無法實作
也就是說實務上沒辦法做出一個方形的 low pass filter
一般能用的 low pass filter不是那麼完美
https://imgur.com/azOwahP
越陡的衰減在中央平坦處就會有抖動(藍線)
而中央越平坦衰減的斜率就越不陡(黃線)
那麼增加採樣率的效果在 frequency domain 如下圖
https://imgur.com/eaCb0mO
可以看到要濾除的綠色部分跟中間藍色部分距離比較遠
讓我們能夠比較容易設計出中央平坦的 low pass filter (紅色梯形)
在 cut off frequency 的衰減斜率也不用那麼大
而增加 tap 數的好處則是可以讓 low pass filter 越接近理想的矩形
以上就是為什麼增加取樣頻率與 tap 數會更好還原出原本的聲音