https://i.imgur.com/leD3SXi.jpg
請問這題的c跟f
c我這樣寫
https://i.imgur.com/dGE2aag.jpg
但不知道怎麼繼續往下
f這樣寫
https://i.imgur.com/3IArh9z.jpg
不知道是不是只能把P^-1算出來然後求column space？
感謝

(c)應該是rayleigh quotient的概念(f)非0的eigenvalues的eigenvecetor會包含在行空間，因A+3i可對角化，那兩個eignvector會生出整個行空間。

問個 非0的eigenvalues那個觀念是在哪裡提到的阿

上課時候老師講的 ，A不能對角化的話，非0的eigenvalue的eigenvector就生不A的行空間，頂多是包含於A的行空間。

有相關的證明嗎 看不太懂因果關係QQ

Ax=λx，λ不為0就不會把x送到{0}？話說再請教一下c小題這樣是不是還要再把A^TA算出來啊

AtA=A^2

喔喔 我大概知道了 感謝

不是很懂怎麼看出A是對稱的 雖然算出來是對稱..

不對，不屬於ker(A^T)不代表會屬於R(A)是因為kerA就是eigenvalue為0的特徵向量張開的空間應該說直接用維度定理去看，剩下來的特徵向量就是一組能張開整個R(A)空間的基底這題是因為特徵向量都正交才剛好對稱矩陣，不然是要直接算ATA沒錯上面這句講不太對，都正交只能確定是normal，而因此特徵值會是A的特徵值的平方

確認一下，A^TA的特徵值跟A的特徵值有什麼關聯嗎

沒有normal這條件就沒有太特別的關聯不然sigular value該有好算的辦法自然是R(A)裡的？ 對當然上面講的都是可對角化的時候

我懂了，謝謝R大和h大！https://i.imgur.com/o7bzat1.jpg想再請問這題的A選項，所以在一般情況下A不一定可對角化時，非0特徵值所對應的特徵向量不一定能張開行空間，這樣對嗎？^^^但這些特徵向量仍會在行空間裡

對，反過來想就是今天N(A)可能比V(0)大，剩下的不夠張這樣講不好，畢竟也可能V(0)的有張夠，單純其他沒張到

感謝R大

想請問一下，不屬於N(A^t)就屬於R(A),為什麼是錯的呢？

它們只是互相為補空間，在兩空間各取一個非零向量加起來就不屬於N也不屬於R了

瞭解了，觀念不太好，謝謝R大！

我講的有地方要更正，上面說只能確定normal是不對的，對實矩陣來說，特徵向量都正交跟對稱是iff的

原來如此，所以over R之下特徵向量正交若且為若對稱