http://i.imgur.com/jV6RtP8.jpg
想和大家對對這題的答案～
另外想問e要怎麼證或舉反例
謝謝大家～～

正定->特徵值皆大於0->行列式值不為0

啊啊我主要是想知道最後一句A^-1 is also symmetric positive definite那邊 抱歉沒講清楚

如果A^-1有負的特徵值，則A^-1v=λv -> (1/λ)v=Av亦即A也有負的特徵值，所以矛盾

不會有x不屬於A^-1任何eigenvalue的eiganspace且x^HAx<0的可能嗎

看不太懂你的疑問，我的前提是A已經正定

你可能要把正定的若且唯若條件放上去看你會比較清楚如果一個實矩陣正定 <=> for all 特徵根值>0因為Ａ矩陣是正定，所以他的特徵根值全部>0，又A^-1的特徵根是原本矩陣的特徵根的倒數，而任意>0的實數倒數之後仍是>0的實數，所以A^-1必定也是正定，至於對稱就用你上面寫的就足夠證明了

我是想說令A:V→V 如果A無法對角化 那就沒有n個LI的eigenvector 那這些eiganspace就無法形成V的直和 但是彼此又是獨立子空間 所以感覺會有一部分x屬於V但是不屬於任何一個eiganspace 這些x便不會對應到任何eigenvalue也就無法保證x^HAx會>0 不知道這樣想哪裡有盲點…啊…自己想通了 不會有這種情況因為可正交對角化@@

可是a是對稱矩陣 必可以對角化啊

證明跟所有特徵值皆大於零等價的時候這些性質都有用到另外你的敘述是有問題的，兩個不同的eigenspace各取一個向量加起來得到的向量不會屬於這兩個space之一個雖然是可以知道你想表達的意思啦...

樓上的意思是說2個向量加起來得到的向量不會屬於這兩個space之一 但這個向量仍會x^HAx>0 所以有沒有在eiganspace不會影響他是否>0嗎

https://i.imgur.com/YXMbnS8.jpg這樣推不知道有沒有錯

因為這些eigenspace形成direct sum所以不管挑哪個都會滿足正定只是挑出來的不一定屬於某個eigenspace

了解～感謝各位