※ 引述《aa06697 (忍者龜頭痛)》之銘言：
: 想問一下 目前讀到線性映射這邊
: 知道當 T:V->W 是歐式空間轉換時 T(x)=Ax
: 其中A剛好是取V,W的標準基底的矩陣表示法
: 所以我們可以用這個A來取得一些性質
: 像是:
: (1)求R(T), N(T) 可以轉成求R(A), N(A)
: (2)問T是否1-1, onto 可以檢查A是否行獨立, 行生成
: (3)若A:m*n 則nullity(T)+rank(T) = nullity(A)+rank(A) = n
: 但這些都是在歐式空間的轉換下
: 黃老師的課本＆上課時也都有先提到是歐式空間轉換
: 我想問的是 那非歐式空間轉換呢？
非歐式空間的轉換,
背後仍為Finite Dimensional Vector Space之間的轉換
例如,
向量Fn 同構 n dimension Vector space
多項式Pn 同構 n+1 dimension Vector space
Vector space是代數定義,
(1) 其任意元素滿足ablian群加法 (前四項,封閉性,單位元素...etc)
(2) 其任意元素與scalar Field滿足乘法(分配律, 結合...etc)
而Range, Kernel, 1-1, onto, rank, ... etc
這些概念是建立在Vector Space之上才有的
其代表的是2個Vector Space之間的關係
也就是linear mapping(transformation)
所以你的代數結構必須要同構Vector Space
才享有這些性質
: U: V->W 其中V是多項式空間 W是矩陣空間
: 雖然可以換成矩陣表示法
: 得到 [U(v)] = [U] * [v] (基底就不打了 因為不知道怎麼表示= =)
: 會是 m*1 m*n n*1
: 就類似是前面所講的T(x) = Ax 的感覺
: 那假如[U] = B (且是取V,W的任意基底 就是不用取標準基底)
: 也可以像是上面所講的
: (1)求R(U), N(U) 可以轉成求R(B), N(B)
: (2)問U是否1-1, onto 可以檢查U是否行獨立, 行生成
: (3)若B:m*n 則nullity(U)+rank(U) = nullity(B)+rank(B) = n
: 像這樣用這個B來求得U的性質嗎？
基底可以直接對應就沒有問題,
如果是Pn -> Fn+1, 會稍微不同
但總結來說, dimension變化是一樣的
而R(U)