其實我們的直覺，覺得 1 > 0.999...
在中學時，常用的的證明是
假設 x = 0.999... 那 10x = 9.999....
兩式相減就得出 9x = 9 同除 9 就得到 x = 1了
不過換個方法，如果用 10x - 9x 呢？
得到是 9.999... - 9 = 0.999... = x
媽的，現在道德淪喪了嗎？ 問題出在哪裡？
這也不是數學家要的證明。
到大學微積分學到極限的時候就可以嚴謹證明
0.999... = 1了，或是談到了等比級數的收斂定理亦也可以證明
1770年，數學大師尤拉（Euler）在 "Elements of Algerbra" 中證明了 10 = 0.999...
就採用這樣的方法。
再更深入學習，也是平時工學院不會碰到的戴德金分割，利用此方法發現在實數軸上 1 和0
.999....之間有相同個有理數，這也證明了 1 = 0.999...
但是保持懷疑的人一定就會想，在 1 和 0.999... 之間一定有個 0.000無限個0結尾1的數
在它倆之間，這個數被叫無窮小量。
微積分裡面引入了一個接近0的無窮小量，一個數除無窮小量，有時候可以直接當成0去計算
，結果還相當符合事實。
可是我們都知道 0 不能當除數，牛頓和萊布尼茲當年都無法解釋這麼奇葩的事情，直到後
來的數學家用了極限的思想，某種程度上消除了無窮小量，才消除了這個問題。
於是這個不存在無窮小量的的體系呢，被稱為標準實分析體系，也是我們現在一直在學的數
學框架。
所以簡單來說在這個框架下 0.999 循環和 1 只之間不存在任何無窮小量了。
但是，數學家就是數學家，他們想，那我們從標準實分析體系內跳出來會怎樣呢？
德國數學家魯賓遜（Robinson）提出了非標準分析體系，他在有理數和無理數構成的實數中
擴充了一點點，稱之超實數體系。無窮小量在超實數體系內又回來了，1 和 0.999 循環在
非標準分析體系內呢，存在一個無限小量，所以 1 又不等於 0.999循環了，不過無窮小量
多小呢？在哪裡呢？還真的不知道，但就是存在。
所以要說 1 到底等不等於 0.999 循環呢？答案就是看定義