應該是這篇文章
Causal decomposition in the mutual causation system
https://www.nature.com/articles/s41467-018-05845-7
在下感覺其提出的方法大概是:
假設觀察到兩個隨時間改變的量A(t)和B(t)
(例如某種掠食者和獵物的個體數量,
但是尚未確認兩者數量有因果關係)
利用ensemble empirical mode decomposition將A(t)和B(t)
各自分解成intrinsic mode functions(IMFs)的有限項疊加
然後再用Hilbert transform的相關理論將每個IMF表示成
a(t)cos[θ(t)]的型態
也就是說 A(t) = Σ IMFa_k(t)
= a1(t)cos[θ1(t)]+a2(t)cos[θ2(t)]+...
B(t) = Σ IMFb_k(t)
= b1(t)cos[φ1(t)]+b2(t)cos[φ2(t)]+...
假如有因果性 至少兩者變化的趨勢會有同調性
所以可以把IMFs兩兩配對比較相位角θ_k(t)和φ_k(t)的變化
如果同調性大 θ_k(t)和φ_k(t)的差值大致會維持固定
如果沒什麼關聯 θ_k(t)和φ_k(t)的差值 會隨時間變化地很亂
所以如果把cos[θ_k(t)-φ_k(t)]+isin[θ_k(t)-φ_k(t)]
畫在複數平面上 把一個震盪周期中不同時間點的
cos[θ_k(t)-φ_k(t)]+isin[θ_k(t)-φ_k(t)]都相加
沒關聯的加起來會近於0 有關聯的加起來會有一定的值
由此可定義出代表一對IMFs同調性的數學量Coh(IMFa_k,IMFb_k)
進而定義出其他能衡量因果性的指標(比較同調性的變化)
確立因果性的關鍵是: 如果A(t)造成B(t)
把B(t)中被A(t)顯著影響的IMF從自身扣除
重新跑一次分解和計算同調性 得到的值會變小
但是對A(t)作一樣的程序 得到的值卻變化不大