根據高斯博內定理，沿著一個封閉曲面的曲率積分，等於其歐拉示性類。
推廣到三維以上情形，高斯曲率成為了里奇曲率張量，歐拉示性類成為了陳類。
在一個局部宇宙空間裡，最完整的獲取局部時空資訊方法，就是繞一圈。
問題是，當宇宙曲率太大時，這個方法不切實際。所以知名大數學家陳省身
提出了「陳類」的看法，用來建構出空間上同調分類的拓僕性質。
http://www.acabridge.cn/research_12615/20140515/t20140515_1114130.shtml
原标题：几何分析领域的重大突破：数学家成功破解“卡勒—爱因斯坦度量”存在性之“
丘成桐猜想”
在陈—唐纳森—孙的系列论文中，他们给出了卡勒-爱因斯坦度量的存在性之丘成桐
猜想的完整证明。根据唐纳森教授2008年提出的研究纲领，结合微分几何、代数几何、多
复变函数、度量几何等多个数学分支的方法，经过多种方法创新，他们终于最终解决了第
一陈类为正时的“丘成桐猜想”。
中国科学技术大学数学科学学院“千人计划”陈秀雄教授和英国数学家、菲尔兹奖得
主唐纳森（Donaldson），及科大年轻校友、陈秀雄教授前学生孙崧博士合作，成功解决
了第一陈类为正时的“丘成桐猜想”。近日，他们的三篇系列论文发表在国际顶级数学期
刊《美国数学会杂志》（Journal of the American Mathematical Society）上。
为了解释万有引力的本质，爱因斯坦于1916年创立广义相对论，并试图用一个二阶非
线性偏微分方程组来度量引力场，也就是有名的“卡勒—爱因斯坦度量”（Kahler—
Einstein度量）。后来的物理学家进一步发展出“弦”理论，在弦论里，我们的宇宙是十
维的时空，即通常的四维时空，和一个很小的六维空间，而这些复杂的高维空间必须是“
卡勒—爱因斯坦度量”。一直以来它们只在理论物理学家的推演和数学家的计算中。
在探索高维空间的过程中，1954年，意大利著名几何学家卡拉比（Calabi）在国际数
学家大会上提出了一个伟大猜想：复杂的高维空间是由多个简单的多维空间“粘”在一起
，因为简单的多维空间目前有成熟的数学工具能够进行解析，如果高维空间能够拆解，也
就意味着高维空间可通过一些简单的几何模型拼装得到。这就是著名的“卡拉比猜想”—
—关于复几何领域高维空间的单值化的猜想，同时这也是求证高维空间上“卡勒-爱因斯
坦度量”存在的猜想。
“卡拉比猜想”按照第一陈类（注：国际数学大师陈省身先生1945年发现复流上有反
映复结构特征的不变量，后被命名为“陈省身示性类”，简称“陈类”，对整个数学界乃
至理论物理的发展产生广泛而深刻的影响）为负、零、正分为三种情况。直到二十多年后
，陈省身的弟子丘成桐才攻克了陈类为负和零的“卡拉比猜想”（其中陈类为负的情形由
丘成桐和法国数学家奥宾各自独立解决），他也因此在1982年获得数学领域的诺贝尔奖—
—“菲尔兹”奖。
据专家介绍，数学家们的长期工作显示，关于卡比拉猜想中第一陈类为正的高维空间
只有在满足特定条件下，“卡勒-爱因斯坦度量”才有可能存在。这个问题因此难度倍增
，困扰学界几十年。丘成桐提出猜想，认为可将第一陈类为正的高维空间上的卡勒-爱因
斯坦度量的存在性问题转化为代数几何的稳定性问题。这被认为是“复几何领域自卡拉比
猜想解决后最重要的问题”。
在陈—唐纳森—孙的系列论文中，他们给出了卡勒-爱因斯坦度量的存在性之丘成桐
猜想的完整证明。根据唐纳森教授2008年提出的研究纲领，结合微分几何、代数几何、多
复变函数、度量几何等多个数学分支的方法，经过多种方法创新，他们终于最终解决了第
一陈类为正时的“丘成桐猜想”。
《美国数学会杂志》审稿人评价说：“陈—唐纳森—孙的证明是突破性的，它不仅解
决了一个基本性的问题，同时还发展了许多新颖有力的工具，以揭示卡勒几何、代数几何
和偏微分方程之间的深刻联系。”国际数学大师德马依称：“无庸赘述，这一进展已在全
世界范围内引起了强烈的反响。”这项重大国际研究成果的取得有赖于对近20年来各个领
域众多数学家取得的基础性成果的关键运用，也标志着卡勒几何的研究达到一个全新的高
度。这一突破也有望在代数几何以及“弦”论等理论物理上获得更多的重要应用。