要理解數字怎麼來的
我們先從有理數以前的數字系統的定義開始
先假設自然數是非常直觀的(0,1,2,3......)
並且在自然數上有一個運算規則"+"
從自然數上建構整數非常簡單
先觀察一個式子"1"+1=2
我們可以用一個數對來代表式子中的第一個1
(1,2)意思就是有個東西x,x+1會等於2
這樣說的話
當然你會發現其實也有很多這樣的式子可以拿來代表1這個數字
像(2,3),(3,4)等等諸如此類的
於是我們把所有的這些蒐集起來並且把它當成整數中的1
可以很簡單的驗證用這樣的定義加法也是被保留下來的
代表X的集合和代表Y的集合如果要相加的話把加法定義為
任意取X中的元素x(a,b)和Y中的元素y(c,d)
X+Y=Z iff (a+c,b+d)屬於Z(這就不另行證明)
大家可以很容易觀察到
如果我把數對前面的數字放比較大
例如(2,1)就代表有個數字x,x+2=1
但自然數中沒有這樣的數字啊
於是就把它當成新的數字的定義
於是就構造出了整數(可以想成是自然數加負數)
這樣就從原本的數字系統中擴展成新的數系
同理
有理數也是基於差不多的手法
只是操作的數系變成是整數和運算符號"*"
問題來了
那無理數要怎麼從原本的有理數構造出來
觀察我們怎麼表達無理數可以發現
大多數的時候我們是用小數不斷不斷的逼近
於是有個德國數學家很聰明
他想說既然我們是用這種方法來表示無理數(我猜的)
那我們就把無理數定義為所有小於(or大於)他的數
實際做法是這樣的
我們把所有的有理數做分割
在數線某個點上一刀劃下去
那所有有理數會分成兩個部分
舉例來說
我可以劃一刀分成兩個部分
{x屬於有理數|x<1},{x屬於有理數|x=>1} (=>代表小於等於)
我就分割出了兩個以有理數為全集互補的集合
大家會發現
如果我切在一個有理數上
要不就會產生下面那個集合有最大元素
或是上面那個集合有最小元素
在這個情況下
我們就把這兩個"分割" (上面的和這個{x屬於有理數|x<=1},{x屬於有理數|x>1})
定義為我們原本在有理數理的x(在這個例子裡是1)
那所謂的無理數
就是剛好切在上面和下面都沒有最大最小元素的"分割"
所以直觀地講可以想像無理數就是所有大於(或是小於)他的無理數的集合
只要考慮一個集合的原因是一個集合被決定
分割出來的另一個集合也已經被決定了
這樣我們就又從有理數拓展出了無理數
這個方法由戴德金提出叫做戴德金分割
回到標題
如果要用戴德金分割說明為什麼1=0.9999...
我們要說明的是
X={x|x<1}
Y={x|x<0.9999...}
(x皆為有理數)
這兩個"分割"是一模一樣的集合(只考慮下面 因為補集會被決定)
x屬於Y則屬於X這個很直觀也很明顯
我們假設存在x為有理數屬於X不屬於Y則代表存在p,q為整數使得
1>p/q且p/q=>0.9999...
1-p/q>0
1-p/q為有理數所以一定可以找到一個1/((10)^n)使得
1-p/q>1/((10)^n)>0
1-1/((10)^n)=0.9999(n個9)>p/q
0.9999(n個9)一定小於0.9999...所以和假設矛盾
不存在在X裡卻不在Y裡的有理數
所以這兩個集合是一樣的
根據定義
1=0.9999...