※ 引述《momoispig (momo不是豬)》之銘言：
: 如題
: 小妹發現
: >1的數字 不管多大
: 開很多次根號後
: 都會變成1
: 不信
: 去按計算機就知道
: 我這樣算是數學天才嗎 有沒有八卦
開根號 就是^1/2的意思
也就是 你說 不管多大的數字 不斷的^1/2 最後會等於1
((x^1/2)^1/2).......=1
寫成好理解一點的
設一數列 a1=x
a2=(a1)^1/2
a3=(a2)^1/2=((a1)^1/2)^1/2
an=(an-1)^1/2
所以an就是你說的 「開很多次根號之後」
若把很多次視為無窮多次，則為limit n>∞之情況
也就是 我們要證明 limit n>∞, an=1
將數列a1到an取ln可得
ln a1=ln x
ln a2=1/2ln a1
ln a3=1/2ln a2=1/4 ln a1
.....
ln an=(1/(2)^n-1)ln a1
limit n>∞, ln an=(1/(2)^n-1) ln a1
將後面的兩部分分開來看, limit n >∞, (1/(2)^n-1) 可以確定是0
0*ln a1=0 =ln an, 故 an=1得證。>>>>>>>從這裡可以知道 只要ln an=0, 則an=1,
an=1就表示「都會變成1」這句話。
但是!!! 如何確定0*(ln a1)是0呢!!!!
回到一開始的定義
我假定x=a1 ,所以 ln x= ln a1
那x是多少?
照你的意思 「不管多大的數字」
所以我假定x趨近於無窮大
>>把有x的部分改為n
limit n>∞ ln n是無窮大
上式(0*ln a1)變成 0*∞
無法確定
再把兩個條件同時考慮:
不管多大的數字> 趨近於無窮大
開很多次根號 >開無窮多次的根號
原式變成 limit n >∞, ln an=(1/(2)^n-1)*(ln n) =(ln n)/((2)^n-1)
為使用羅必達法則
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B4%9B%E5%BF%85%E8%BE%BE%E6%B3%95%E5%88%99
若令f(x)=ln n ,g(x)=((2)^n-1)
則ln an可寫成 f(x)/g(x)
終於可以用羅必達法則啦!
limit x > c, f(x)/g(x)= limit x> c ,f'(x)/g'(x)
也就是!!!
分子分母同時給他微分!!
f'(x)/g'(x)=(1/n)/(n-1)*(2^n-2)
拆開來看 = (1/n)/(n-1)* 1/(2^n-2) = (1/n*(n-1)) *(1/(2^n-2))
limit n >∞, (1/n*(n-1))*(1/(2^n-2)) =0=ln an!!!!!!!!!!!!!!!!1
an=1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1
得證，不管多大的數，開無限多次根號後，都會等於1!!!!!!!!!!!
比想像中難證ㄟ
看不懂的就當我賺P幣吧
看得懂的麻煩糾正一下 我總覺得我哪裡寫錯了
謝謝