大家好, 一些看法請不吝指教.
(1)
機率跟機率空間有公設, 但實際上機率 (測度) 值怎麼分配, 主要還是來自於人們
是怎麼認知這些事件發生的強度. 例如公正骰子的六個面出現的機率要一樣, 硬幣
出現人頭或字的機率要一樣 (這些倒還是沒有爭議的).
當然只要符合公設, 我們可以針對每個事件指定特定的機率值, 這些都是正常的機
率. 我設計出來的機率可以說就表示我自己對某些尚未發生事情的期待或者相信程
度. 當然, 這跟原本要解釋的概念「機率零不代表不會發生」不太一樣, 這裡是指
別人不相信的事情不代表不會發生.
(2)
回到前面很多文章敘述的情況, 比較像是這樣子: 由於連續型機率的事件空間其複
雜程度遠超過原本我們所熟悉的離散型古典機率. 即使很幸運地我們常常可以用實
數集 (或者以隨機變數描述的集合) 來表現出事件空間的構成, 然而我們若想對這
些事件分別指定機率, 會有一些麻煩, 因為這些事件集合本身在尺度上就有巨大的
差別.
例如假設某件事情 (以下簡稱 A) 在每個時間點發生的可能性或者強度是一樣的,
那麼
「 A 發生在早上八點三十分(到三十一分之前)」
跟
「 A 發生在早上八點三十分(不能多任何一分一秒一毫微秒或者少)」
這兩種事件發生的可能性或者強度不在同一種層次上. 再講得仔細一點, 既然我們
相信 A 發生在每個時間點的強度都是一樣的, 那麼
「 A 發生在恰恰好八點三十分這個時間點」的可能性,
應該都要小於
「A 發生在八點三十分的前後 t 時間內」的可能性.
我們可以相信 t = 1 的可能性應該是 t = 2 的一半對吧?
那麼當 t 越來越小呢? 前者的可能性都要小於後者 (t > 0) 的情形對吧?
於是為了符合這樣事件包含的機率公設, 這種事件的機率 (測度) 只能任意小, 被
壓縮到 0.
(4)
當然, 在前述的「 A 發生在某個時間點」的事件還是可能存在的, 還是可能會發
生的. 但是這種單點事件發生的強度遠遠不如發生在某個時間區間內的強度. 可能
或許我們也可以發明新的機率概念 (整體測度超過 1 或者放棄量化的測度數值,
只採用一個比較的順序來比較各種事件發生的可能性, 不過這我也只是隨口講講的).
然而, 我認為有一個外部的問題是, 由於這兩種事件的強度尺度差別太大, 不在同
一個層次上, 導致我們在可能的實務上不是「測量不出前者 (類似單點事件) 」,
就是「沒有真的考慮到後者 (類似整個區間的事件)」.
我舉例說明, 例如說在 [0,1] 區間上挑選到 0.5 這數字的事件, 如果說真的要電
腦來跑模擬去計算數字出現的頻率好了, 可是畢竟電腦儲存或者運算數字實際上都
是很多位數的有限小數, 所以這其實是離散的情形, 我們沒有真的考慮到連續的事
件空間. 那麼換一種實驗方法, 例如說我想在一個一公分長的直線上, 以我相信的
隨機的方法去取點, 來計算取出點的出現頻率好了. 那麼就算真的出現了 0.5, 難
道這沒有測量誤差? (只要允許誤差其實就等於是測量某個區間的出現頻率了) 就
算是很不幸的, 我們真的取到了 0.5 這個點, 但我們在實務上有辦法判斷或測量
這真的是 0.5 嗎? 說真的測量有其極限, 這種事情做不太到.
因此, 把這兩類發生強度不同層次的事件各自設定一個機率, 其實也沒有太大的意
義, 實務上遇到的話, 我們設定模型的方式不是離散化, 其實就是幾乎忽略掉發生
強度比較小的這類事件. 因為取捨之下這些機率被壓縮到 0 的事件, 就算發生了,
情況跟整個連續區間的事件比起來也微乎其微, 而且測量有麻煩, 實務上不會很在意.
另一方面的取捨, 如果硬是要設定這類小事件有正的測度, 那麼另一邊更強的事件
測度就會是無限大 (數值超過 1 了, 也不是機率), 捨大就小也沒什麼意義.