※ 引述《jeromeshih (以謹慎態度來面對問題)》之銘言：
: 2.為何不能任意三等分角(因為該方程式為不可分解式)
前文恕刪。
這時候睡不著，所以只好來八掛板發發廢文，看會不會好睡一點。
為什麼會刪到只剩這一行呢？因為我今天想講的是(古希臘)幾何三大難題。
什麼是幾何三大難題呢？
在我的小時候，有一門課叫尺規作圖，不知道現在的小朋友還有沒有？
是只能用圓規跟沒有刻度的尺來解幾何問題。
像是找中點啊，作垂直線啊，給兩線段做直角三角形啊之類，不知道要幹麼的問題。
而幾何三大難則是在古希臘的時候，三個要用尺規作圖解的，但是沒有人解得出來的題目
這三個問題分別是
三等分角：任給一個角度，找他的1/3倍的角度。
化圓為方：任給一個圓，找一個正方形，使得它的面積跟圓面積一樣。
倍立方體：任給一個正方體，找一正方體是此正方體的兩倍體積。
這三個問題現在已經證明出是無法用尺規作圖解出來了。
在談怎麼證明之前，我們先來看看尺規作圖能做什麼事？
因為直尺上沒有刻度，所以長度的來源只有題目所給的線段。
那所以當我們有了沒有刻度的直尺跟圓規，還有題目所給的線段後，我們可以做什麼？
加法：利用圓規來量距離，將兩線段相加。有人會問，為什麼不在尺上做記號就好了？
因為這是犯規的，為什麼犯規？這可能要問那些死掉的數學家了。
減法：減法跟加法其實是同樣的概念的。
乘法、除法：
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1294766878.A.8B0.html
詳情可以看這篇文章，所利用的工具是相似三角形的性質。
開平方根：
https://www.youtube.com/watch?v=ffQeKd-5Rx0
詳情可以看這個影片，所利用的工具是相似三角形跟圓內三角形的性質。
恩…尺規作圖大概能做的事就這樣。
那接下來就要說到為什麼三大難題無解呢？
三等分角：
有一種可怕的東西叫作三角函數，三角函數可以將角度利用三角形轉化成長度。
因為有了三角函數的幫忙，我們可以將問題轉化成 給一個cos x 是不是能找到 cos x/3
然後高中背的那麼多的三角公式，什麼三元四元之類的，有一個是長成這個樣子，
cos 3x = 4 cos ^3 x - 3 cos x
所以很明顯的，要解這個問題必須要可以立方根才行，但是在尺規作圖中，這是作不到的
在這先來個小小的浧清，有些cos值開完立方根的值，是可以用有理數跟平方根表示，所
以這種特例下，尺規作圖是可以辦得到。
化圓為方：
給定一個以單位長為半徑的圓後，這個圓的面積很明顯是π，所以要找到根號π作為正
方形的邊長。開根號沒什麼問題，但是問題是我們沒辦法生出π來，所以這題就這樣無
解。
倍立方體：
假設給定的正方體的邊長為單位長，那兩倍體積的正方體的邊長是三方次根單位長。
因為尺規作圖沒辦法開三次方長，所以也無解。
就這樣三大難題就被證明無解了。
在這其實用到的想法是，我們原來是有一個由有理數所構成的體，然後再將這個體擴張到
可以開方的體，但是這三大難題，有兩個是需要用到三次方根，而另一個則是要有π的存
在。所以這三大難題是無法用尺規作圖解的。