http://udn.com/news/story/7314/792418
昨晚，你被那國小數學四邊形逼瘋了嗎？ 聯合報 記者陳皓嬿╱即時報導
昨天晚上，有一道國小數學題目，把眾網友逼瘋，該問題也被轉載到臉書社群上，讓困惑
的族群快速擴大中。
昨晚在ＰＴＴ八卦版上，有一位網友「ｋ４」ＰＯ了一張圖片，並問「圖中灰色面積是多
少」（http://disp.cc/b/163-8zJJ）。
根據ｋ４提供的圖片，該圖為一個６０公尺ｘ３５公尺的長方形，中間開了兩條底為８公
尺的直的平行四邊形道路，還有一條底為５公尺的橫的平行四邊形道路。
該題目問，如果扣掉這三條白色道路的面積，剩下的灰色面積為多少？
一開始許多人紛紛吐嘈、嘲笑ｋ４，提出「平行四邊形面積＝底ｘ高＝同底等高的長方形
面積」，因此只要將歪斜的道路拉直，然後併到邊邊角角，就可以算出灰色區域的面積，
等同於一個長為６０－８Ｘ２＝４４公尺，寬為３５－５＝３０公尺的長方形，其面積為
４４ｘ３０＝１３２０平方公尺（如下圖）。
http://uc.udn.com.tw/photo/2015/03/27/realtime/643838.PNG
但這個解法很快被打臉（並還ｋ４一個清白），因為把白色道路拆掉後，灰色區域怎麼樣
都無法拼成一個完整的長方形，中間會留有空隙，因此網友們頓時將題目難度從國小躍升
到大學以上等級，引起大家熱烈討論。
後來，有人先把題目的圖畫到紙上，然後將中間道路剪下來，發現剩餘部分的確無法拼成
完整長方形，但邊邊多出來的部分能否靠「挖東牆補西牆」補上，又有爭議。
有人則祭出工程繪圖軟體ＣＡＤ，把圖重新繪製一遍，後來發現問題癥結點，是當直的兩
條路和橫的那條路之間，夾角變化不同時，中間重疊的部分，面積也會跟著變動？
ＣＡＤ挪移的結果顯示，當橫路與直路夾的內角較小時，重疊的平行四邊形所佔面積最大
，因此灰色面積總和最小，當橫路與直路互相垂直時，重疊的平行四邊形所佔面積最小，
灰色的面積總和最大，等於１３２０平方公尺（如下圖）。
http://uc.udn.com.tw/photo/2015/03/27/realtime/643835.PNG
為了讓大家可以早點洗洗睡，記者也默默祭出聯合報「閱讀數學」專欄作家賴以威解惑。
半夜被要脅因此還不能睡覺的賴以威解釋，問題關鍵卡在「中間重疊的平行四邊形角度未
知，所以無法推算其面積」；換句話說，只要兩路夾角一變動，中間重疊面積就會跟著變
，因此此題無解。
賴以威舉例，先看橫路（寬為5公尺）平行長方形的長的情況，在此條件下，該橫路的寬
（5公尺）就會是中間重疊平行四邊形的高，因此只要直路的寬（都是8公尺）不變，不管
直路和橫路間的角度如何變化，中間重疊的平行四邊形面積都是固定的，面積等於直路寬
（底）Ｘ橫路寬（高）＝８Ｘ５＝４０平方公尺。
但賴以威指出，只要橫路沒有平行於長方形的長，那麼中間重疊的平行四邊形的底和高就
都改變了，平行四邊形的高不再是５公尺，因此中間重疊的面積必然不相同。
http://uc.udn.com.tw/photo/2015/03/27/realtime/643836.JPG
比較兩個例子（見上圖，記者半夜只能陽春手繪真是不好意思，請各位別介意）。
例子一是如上所述，橫路、直路的寬都是８，且橫路（藍色）平行於長方形的長，因此不
管直路（紅色）的角度如何歪斜，兩者中間重疊的平行四邊形面積皆為８Ｘ８＝６４。
例子二則是同樣維持直路橫路寬為８，但是橫路（藍色）不平行長方形的長，直路（紅色
）不平行長方形的寬，而兩路互相垂直，因此中間重疊的面積是一個正方形。
正方形的邊為８cosθ，或是８cosφ，根據ＲＨＳ相似，θ＝φ（廢話，正方形的邊當然
都一樣長），所以計算該正方形面積，會等於８cosθ Ｘ ８cosφ ＝ ６４（cosθ
）^２，而只有在θ＝０的時候，cosθ才會等於１，因此很顯然例二中的正方形面積，不
等於例一中的平行四邊形面積。
好啦，證明完畢，大家趕快洗洗睡吧！還有疑問的話，歡迎讀者上賴以威的臉書（
https://www.facebook.com/iweilai0924）繼續討論。
下圖是賴以威和他的朋友們共同製作的「互動繪圖」，打開該頁面可以看到左邊長方形上
的紅點可以拖曳，以改變三條道路的角度，並觀看面積變化；右方的圖則是將三條道路拿
掉後，讀者可以試圖拖曳不同的四邊形，將灰色剩餘面積拼拼看能不能變成一個長方形。
http://tube.geogebra.org/student/mHf26bqcB