這並不能算是數學戲法, 這是觀點上的不同.
這位教授為了要讓一般人能夠理解, 所以將很多前提假設輕描淡寫地放在影片中帶過.
大概是為了讓大家感到有趣不要有壓力.
可是這些前提假設是相當重要的.
我們一個一個來複習一下.
S1 = 1-1+1-1+1-1+1-1+1.... = 1/2
前提1 : 這世界上並沒有無限大這種東西.
事實上也是這樣, 各位可以回想一下高中數學. n趨近於無限大怎麼寫?
n → ∞
為何要寫 lim n 不是 lim n ?
n→∞ n=∞
因為所謂無限大是人類想出來的虛擬數值, 為了能夠方便計算. 只存在於理想世界中.
實際上是不存在的, 所以嚴謹來說 x=∞ 是不存在的, 這世界上只有 x→∞
因此如果用高中數列觀念來看, 數學老師都會用叫我們停在某一項來觀察.
在邊就會得出數列在 1 0 之間跳動. 是發散數列.
這邊暫停先回到上一句.
所謂觀察, 就是等號(=), 是一種將數列停下後計算的行為.
但這個數列有無限多, 我只要在任何地方停下來, 都還會有數字要加減.
所以這數列是無法計算的, 因此我們用期望值1/2表示. 表示什麼?
表示他在兩個數字間不斷跳動, 這兩個數字的中心點叫做1/2.
因為我們"無法停下", 所以只能以期望值表示.
前提2:算出來數字為期望值, 表示數列跳動中心值
以上為S1代表之意義
>再來看S2
2 * S2 這邊數列他做了一個平移的舉動, 很多人會在這邊爭執.
"這是不同項, 項次要對齊阿, 怎麼可以平移?"
但這是可接受的, why?
回到S1談到的, 這是無限數列, 我們無法停下, 而且我們會盡可能的運算到無限多項.
在這前提下, 代表說其實當我們運算到很多項次的時候, 其實差那幾項是可以被忽略的.
因為後面還是有很多項可以補足項數位移造成的項數差.
所以在 2 * S2 數列中 A(n)+A(n+1) 是一個group
當我們加到很多項的時候其實和 2*A(n) 一樣. 這是一種合理的近似.
無須擔心項數位移.
此外 S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7....
在每一下停下來的值 1 -1 +2 -2 +3 -3 +4 ...
你可觀察到他也是個不斷跳動的發散數列.
這邊可從S1推導獲得, S2的期望值為 1/4.
也就是說, (1) S2數列可以藉由S1移項產生
(2) 且此發散數列的中間值(重心)在 1/4處
以上為S2代表的意義.
>> 再來看最後的推導
這邊過程其實沒啥好說的, 但對於結果的解釋非常重要.
它的結果並不叫做總和值 = -1/12
有幾點要特別注意
(1). 它是一個發散數列. 以物理觀點來看, 這不是總值.
(2). 這數列的A(n), 可以藉由前面的平移推出來.
(3). (2)中的平移項次 k << n 所以在趨近於無限多項候可以被忽視.
且因為我們並不能停下, 項次不對齊, 多幾項少幾項都可以在後面的數列補齊.
因為我們永遠加不完, 我們不用去擔心會少多少多多少, 我們有無限多資源來彌補.
(4). 也因為我們永遠無法加完, 我們只能預測該發散項數列跳動的 " 重心 " 在哪裡.
也就是 -1/12.
最大的迷思就是在於S1的, 無限大並不存在.
所以我們無法有觀察(=)這個動作.
與常理發生衝突就是在這個等號的出現. 有等號出現就代表觀察, 代表運算停下(結束).
但是觀察(停下)這個動作在對無限多項數列運算就是不合理的.
(都還沒算完怎麼可以停下?)
但是任何人中途停下想要觀察結果, 就會對此數列造成干擾, 無限大將不再是無限大.
他將變成個有限數列, 數列平移將會造成影響, 以上推導將不復存在.
理論架構崩解.
我不是數學系出身, 我是念物理的, 以上邏輯觀點是從量子力學波函數的概念出發.
詳細情況有興趣可去參考 <薛丁格的貓> 的案例.
在量子力學世界中, 在觀察這隻貓之前, 牠有可能是死的, 有可能活的.
機率一半一半, 所牠是隻半死不活的貓 (機率波函數疊加 = 1/2 ) 沒開箱子你觀察不到
但任何人只要打開箱子觀察, 就會造成波函數的塌縮.
讓這隻貓變成是死的, 或是活的. (1 or 0)
已經開箱造成干擾, 所以你觀察得到.
套成上面數列案例, 只要一觀察這個數列, 就會得到無限大的結果.
但是不做觀察, 就會得到 -1/12 的波函數疊加結果.
如有BUG有請大家指證.