這裡試著用圖示的方式說明幾個求和方法，希望能幫助理解一些求和的概念，
並了解sum(1,-1,1,-1,...)=1/2和sum(1,-2,3,-4,...)=1/4是從何而來。
以下用長條圖表示在求級數和的前幾步中，數列前幾項的加權，
也就是要算白長條(各乘上a0,a1,...)的總面積。
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傳統求和法
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無法計算sum(1,-1,1,-1,...)和sum(1,-2,3,-4,...)
S1
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
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█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S19
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
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█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(改良的求和法)
Cesaro求和法
─────
可以計算sum(1,-1,1,-1,...)但無法計算sum(1,-2,3,-4,...)
S1
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█
█
█
█
█
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█ █
█ █
█ █
█ █
█ █
█ █
█ █
█ █
█ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S3
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█
█
█
█
█
█ █
█ █
█ █
█ █
█ █
█ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S4
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█
█
█
█ ▄
█ █
█ █
█ █
█ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █ ▄
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S5
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█
█
█ ▃
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█ █
█ █
█ █ ▆
█ █ █
█ █ █
█ █ █ ▂
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S6
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█
█
█ █
█ █
█ █
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█ █ █
█ █ █
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█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S7
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█
█ ▃
█ █
█ █
█ █ ▇
█ █ █
█ █ █ ▂
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S8
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█
█ ▆
█ █
█ █ ▄
█ █ █
█ █ █ ▂
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S9
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█
█ █
█ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S10
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█ ▂
█ █
█ █ ▃
█ █ █
█ █ █ ▅
█ █ █ █
█ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S11
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█ ▃
█ █
█ █ ▆
█ █ █ ˍ
█ █ █ █
█ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S12
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█ ▄
█ █
█ █ █
█ █ █ ▄
█ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S13
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█ ▅
█ █ ▂
█ █ █
█ █ █ ▇
█ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ ˍ
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S14
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█ ▆
█ █ ▃
█ █ █ ▁
█ █ █ █
█ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S15
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█ ▆
█ █ ▅
█ █ █ ▃
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█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ ▃
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█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
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█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S16
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█ ▇
█ █ ▆
█ █ █ ▅
█ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S17
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█ █
█ █ ▇
█ █ █ ▇
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█ █ █ █ █ ▆
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█ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ＿
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S18
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█ █
█ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
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█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █
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█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S19
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█ ＿
█ █ ▁
█ █ █ ▁
█ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(更改良的求和法)
Abel求和法
─────
可以計算sum(1,-1,1,-1,...)和sum(1,-2,3,-4,...)
S1
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█ ▇ ＿
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█
█ ▆
█ █ ▁
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S3
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S4
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S5
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S6
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S7
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S8
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S9
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S10
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S11
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S12
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S13
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S14
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S15
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S16
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S17
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S18
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S19
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