※ 引述《dickson69 (HHHHHHHH)》之銘言：
: 遇到一題完全沒有想法如何切入
: 請求各位智者解答(題目4.8)
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U=q1^ρ+q2^ρ
dU=ρq1^(ρ-1) dq1 + ρq2^(ρ-1) dq2
當ρ<0時, 邊際效用為負, q1=q2=0時效用最大
當ρ=0時, 邊際效用恆為0, q1,q2為預算限制內任意數效用都一樣
當ρ>1時, 邊際效用為正且遞增,為角解,全部預算拿去買便宜的可得最大效用,
p1=p2則雙角解,全買q1或全買q2
當ρ=1時, 邊際效用為正且固定,若p1=p2則為線解隨便買把預算花光都得最大效用,
p1不等於p2時為角解全部買便宜那個
當0<ρ<1時, 邊際效用為正且遞減,對任意預算有唯一解
每增加1單位q1須花p1預算,得邊際效用ρq1^(ρ-1),平均每預算ρq1^(ρ-1)/p1
每增加1單位q2須花p2預算,得邊際效用ρq2^(ρ-1),平均每預算ρq2^(ρ-1)/p2
若ρq1^(ρ-1)/p1不等於ρq2^(ρ-1)/p2則可將較小者預算轉移至較大者,
則總效用增加,而因邊際效用遞減同時使較大者降低,較小者升高,直到相等為止為最大解
則令ρq1^(ρ-1)/p1=ρq2^(ρ-1)/p2=ρt^(ρ-1)
則q1=p1^(1/(ρ-1)) t, q2= p2^(1/(ρ-1)) t,
又預算C=p1q1+p2q2= (p1^(ρ/(ρ-1)) + p2^(ρ/(ρ-1)))t
可解出t= C/(p1^(ρ/(ρ-1)) + p2^(ρ/(ρ-1)))
則最大效用時q1=C p1^(1/(ρ-1))/(p1^(ρ/(ρ-1)) + p2^(ρ/(ρ-1)))
q2=C p2^(1/(ρ-1))/(p1^(ρ/(ρ-1)) + p2^(ρ/(ρ-1)))