※ 引述《nahsnib (悟)》之銘言：
: 1.這個包了三層參數式U點，他的參數式是什麼？
: 2.U點形成的軌跡與線段AD所夾之面積為？（基本上就是跟x軸所夾面積）
: 3.0~a秒內，U點掃過的軌跡長度為？
: OK所以這個題目顯然的有必要把參數式搞定，但反過來說把參數式搞定剩下兩個也不難。
: P(0,t)，Q(t,1)，R(1, 1-t)，
: S(t^2, 2t-t^2), T(2t-t^2, 1-t^2)
: U(3t^2-t^3, 3t-3t^2)
: 最後一題，曲線長度，翻出微積分公式，兩分鐘便可搞定
: L(t) = int_0^a sqrt( x'(t)^2 + y'(t)^2 ) dt
: = int_0^a sqrt(9-36t+72t^2-72t^3+36t^4) dt （這裡要用點通靈才能搞定這個根號）
: = int_0^a 3( 2t^2 - 2t + 1 ) dt
: = 2a^3 - 3a^2 + 3a
: 那麼，問題來了，雖然能解這個問題，但有沒有更好的解法？
: 畢竟在第三題中那個結果竟然能神奇的配方？巧合嗎？我不這麼認為。
: 但暫時我也沒想到更好的解法，因此先保留。
這問題還真是越看越不對勁
Ut = ( t^2*(3-2t), 3(1-t)t )
X(t) = t^2*(3-2t)
Y(t) = 3(1-t)t
X'(t) = 6t(1-t)
Y'(t) = 3(1-2t)
X'(t)^2 + Y'(t)^2 = 36t^2*(t-1)^2 + 9(2t-1)^2
= 9(2t^t-2t+1)^2 (到底!?)
這個配方並不具一般性，
如果今天把正方形ABCD橫向拉長1倍，
也就是 D 變成 (2,0), C變成(2,1)，這個配方的結果就不會出現了
將原圖裡面 Ut 的軌跡 (0<=t<=1) 畫出來，也看不太出個所以然
https://i.imgur.com/pS6v58G.jpg
思來想去，如果我是考生，
會往配方考慮的理由只會是題幹裡面已經有講明Ut軌跡的長度是a的多項式

我在想是不是要朝正多邊形的方向去考慮，原題是正方形那用正五六七八會不會有類似特性？

一般中學教育有什麼相關定理嗎？ 不然這問題真是只會殺死學生對數學的興趣

要考量到這不是台灣所教的東西不一樣，而且是東大入學考不是什麼學校段考題所以考難一點他爽就好順帶一提台灣學測考試範圍只有高一二，所以微積分、虛數假設檢定、連續與極限、隨機變數這些都不在範圍內

這個第三小題蹊蹺的部份在於"剛好可以配方"不然只是求曲線長度的話倒還是個滿ok的數學問題