當在討論有多少錢才能退休時， 4% rule 常被提及
不過， 4% rule 是基於 Trinity study
基於美國股債的歷史回報率與30年的固定提領期間
所提出的一個 rule of thumb
如果你的預期提領期間，或對未來報酬率的預期，與 Trinity study 不同
有沒有方法可以估計這個提領率呢?
Milevsky 基於隨機分析(stochastic calculus)提出了一個計算提領率的近似公式:
μ:年化實質報酬率 σ:年化標準差 p:可接受的失敗率 T:中位數餘命
λ = ln(2)/T
α = (2μ+4λ)/(σ^2 + λ)-1
β = (σ^2 + λ)/2
提領率 1/W = GAMMA.INV(p, α, β)
取倒數則得財富倍數 W
GAMMA.INV 是 GAMMA函數的反函數，Excel有提供這個函式，不用自己算。
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帶入一些數字作為實例:
μ = 6% (目前美國抗通膨債報酬率約 2%，Equity Risk Premium 假設為 4%)
σ = 17% (S&P500 年化標準差約 17%)
T = 30 (中位數餘命假設為30年)
p = 10% (假設可接受 10% 失敗率)
λ = ln(2)/30 = 0.0231
α = 3.08
β = 0.0260
提領率 GAMMA.INV( 10%, 3.08, 0.026) = 2.99%
財富倍數 W = 1/(2.99%) = 33.41
按此估計，中位數餘命30年的一個退休者，如將1000萬元全數投入股票
每年提領通膨調整後的 29.9萬，約有 10% 機會在死前花光財產
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如果改用 50% 股票比重的 portfolio
令 μ = 4% ，σ = 8.5%，T = 30，p = 10%
提領率則可上升到 3.35%
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也可以反過來，根據提領率估計失敗率
Excel公式是 GAMMA.DIST(1/W, α,β, TRUE)
以 4% 提領率來說，如果沿用以上50%股票比重的設定
失敗率的估計是 GAMMA.DIST( 4%, 4.68, 0.0152, TRUE) = 16.47%
===
Reference:
Milevsky, Moshe & Robinson, Chris. (2005). A Sustainable Spending Rate
without Simulation. Financial Analysts Journal - FINANC ANAL J. 61. 89-100.
10.2469/faj.v61.n6.2776.

推

為什麼你p預設10%但是實例帶5%進去算?

請問d大用蒙地卡羅模擬評估提領率是否就不受限Trinity study了？例如Portfolio Visualizer

Milevsky的公式，在低提領率時會稍微高估失敗率，在高提領率時則會低估失敗率。但在常用的2~4%提領率範圍內，失敗率大概頂多高估1~2%左右，差別並不會很明顯。

感謝d大分享和回覆

這似乎也可以說明資產配置(降低sigma)的重要性

感謝d大分享，果然不能傻傻地只有投股市而已 ><

這是這組參數算出來是這樣。如果你相信ERP有7%，全股就會贏

ERP能理解為考慮通膨後的報酬率嗎？

ERP是股票報酬率減掉無風險利率。至於什麼是無風險利率見仁見智，這篇是用美國抗通膨債利率當作無風險利率。

感謝推；是說 1. 主計處似乎沒有公布中位數餘命，不知拿平均作 proxy 誤差如何 2. 實質提領率不隨年齡增加（實務上）也是蠻奇怪的。如果花費是隨時間指數上升，直接把年增率合併計入通膨好像沒什麼問題？

其實是可以從生命表推出中位數餘命的，但用平均餘命也不會差很多。按第十回生命表，男性70歲前中位數餘命會略大於平均餘命，70歲後則會略小於平均餘命。以30歲男性來說，中位數餘命約比平均餘命多3年左右。以規劃50年來說，這個差距應該也還好吧。生命表畢竟是群體值。至於有糖尿病先扣個5年之類的調整，就看個人的健康狀況了。至於2，你說得未必不合理，只是不符合SWR的基礎假設。你如果希望支出增加速度比通膨每年高1%，也可以把μ自行扣1%

感謝；關於 1. 看了下原文其實有提：E(T) = 1 / λ (4b)Median(T) = ln(2) / λ (4c)那會是 ～0.3X 的 deviation；不過同時也有提 exponential or constant force of mortality assumption的合理性問題；如 d 大所說給個人健康資訊比較大的加權，並對估計保守大概比較實際。

由於實際死亡率的分布，用 E(T) = 1 / λ 會高估λ。後者會比較近似。我揣測作者試過前者，發現跟蒙地卡羅法跑出來的結果對不起來才改用後者...

即視感 XD；是說如果 E(T) 和 Median(T) 都附上，discussion 再討論一下落差也挺好的；現在蒙地卡羅的門檻比當年低多了，不過有速算近似對於 grid search 和評估參數對 SWR 影響的穩定度還是挺有幫忙的；另一個延伸的問題是作為 lifecycle investing 的實踐者，如果基於風險趨避所得的 Samuelson share 和基於給定SWR 最大化成功率所得的風險資產比不同，不知有什麼調和或選擇的思考歷程？

Samuelson share 是基於 morndern portfolio theory，其consumption是內生性的。假設理想開銷比是5%，portfolio跌50%時，你當年度的開銷金額就會減半。反之，這個近似公式的consumption 是外生性的，不管portfolio 是漲是跌，你都要維持固定的開銷。大部分人的實際情形大概是落在兩者之間。你的配置要比較偏向前者或後者，就要看你的開銷是偏向彈性還是固定了。另外，如果你用lifecycle investing 的話，除了調整開銷，還有一個可能的選擇是透過調整退休年齡來調整portfolio 價值。這些額外的彈性也可能讓你的配置偏向前者。

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