身為題目的作者
在此再度感謝每一個寫了這題的小組們
看到許多組解答用手寫得密密麻麻
有的還畫了樹狀圖
真的很認真
起初在設計題目時
直覺認為答案的PMF和geometry random variable有關
如正四面體在到達步數n>1的情形
然而 正六面體的結果會稍微複雜了些
不過 若從詳解中的寫的 最後答案是由兩個exponential差得來的
所以在計算期望值的時候 就會有和geometry異曲同工的技巧了
(話說當初為了趕繳交的deadline所以詳解不甚詳細 不好意思)
(另外有幾個小錯 勘誤於本版第75篇)
話說回來
詳解中 正六面體的PMF用到線性代數來解
當初也是想幫各位和我們複習一下的意思
不過後來有答對的組別都沒有人用線性代數就是了XD
詳解也提到 可以用遞迴的方法來做
遞迴式P[n]=(P[n-2]+P[n-4])/4
它的characteristic polynomial為 x^2-x/4-1/4
解得兩個特徵根 (1+-sqrt(17))/8
剩下代初始條件P[3]=1/2,P[5]=1/8 解係數 就是routine的計算了
(PMF寫成遞迴表示式 或是其他表示方式的function 都有給對!!)
另外
若要單算正六面體期望值的話 也有速解
我們討論螞蟻開始爬後 直接從起點爬了2段邊到達離頂點差1段(level3)的這個時刻
此時看到的期望值為X 則
X= 3*(1/2) + (X+4)*(1/4) + (X+2)*(1/4)
共爬了3段直接爬到終點 花2段爬回起點再向上2段回來 爬1段到level2再爬1段回level3
解得X=6
同理正四面體也可以這麼算 設Y為第一次沒上去後看到的期望值
X=1*(1/3)+(Y+1)*(2/3) Y=1*(1/2)+(Y+1)*(1/2)
解得Y=2 X=7/3
這裡用到兩個變數因為第一次沒爬上去後接下來會碰到重複的狀況(上去:1/2;不上去1/2)
和一開始有三條路可以選不同。
算是直接用期望值去遞迴吧!
最後表揚一下第9組和第20組用了這種速解
(老實說本來要出正六和正八面體的但沒想到這種速解所以作罷)
然後某組似乎用PMF遞迴式跑Matlab跑1000遍@@ 也答對了...